готовые решения для несжимаемого Навье-Стокса - как найти бездивергентные поля скоростей?

10

В методе готовых решений (MMS) постулируется точное решение, подставляется его в уравнения и вычисляется соответствующий член источника. Затем решение используется для проверки кода.

Для несжимаемых уравнений Навье-Стокса MMS легко приводит к (ненулевому) исходному члену в уравнении непрерывности. Но не все коды допускают исходные члены в уравнениях неразрывности, поэтому для этих кодов подойдут только изготовленные решения с полями скоростей без расходимости. Я нашел этот пример для домена В общих трехмерных случаях, как можно создать бездивергентное поле скоростей? $\Omega=[0,1]^2$

\begin{aligned} u_{1} & = - \cos (π x) \sin (π y) \\ u_{2} & = \sin (π x) \cos (π y) \end{aligned}

$\begin{align} u_1 &= -\cos(\pi x) \sin(\pi y) \\ u_2 &= \sin(\pi x) \cos(\pi y) \end{align}$

navier-stokes incompressible verification

— Крис
источник

7

Используйте векторную функцию потока или возьмите перекрестное произведение двух градиентов. То есть:

u = \nabla \times A

$\boldsymbol{u}=\nabla\times\boldsymbol{A}$ где

A

$\boldsymbol{A}$ - векторное поле по вашему выбору, или

u = \nabla f \times \nabla g

$\boldsymbol{u}=\nabla f\times\nabla g$ где

f

$f$ и

g

$g$ два скалярных поля по вашему выбору.

Трудно, чтобы скорость была бездивергентной и предписывала граничные условия, но пока ваш код позволяет вам устанавливать произвольные функции для ваших граничных условий, у вас должно быть все в порядке.

ETA: Конечно, ваше уравнение импульса должно будет принимать форсирующую функцию, но я всегда чувствовал себя лучше при форсировании уравнения импульса, чем добавление правой части к уравнению непрерывности.

— Билл Барт
источник

Спасибо! (Насколько мне известно, форсирование уравнения неразрывности происходит только при моделировании кавитации)

— Крис,

5

Это не общий ответ, но для уравнений Навье-Стокса существуют готовые решения, которые описывают реальный поток. Например, поле потока Kovasznay является популярным выбором:

http://link.springer.com/article/10.1007/BF00948290

Оригинальная ссылка: Kovasznay LIG, «Ламинарный поток за двумерной сеткой». Proc. Кембридж Филос. Soc., Стр. 44, 1948.

— Вольфганг Бангерт
источник

1948 (!) Я не осознавал, что это был «реальный поток». Под этим вы подразумеваете, что это может быть измерено в физическом эксперименте (в отличие от имитации в численном эксперименте)?

— Крис

Я верю, да.

— Вольфганг Бангерт

Нет. Это идеализированный поток на расстоянии за сеткой. Но никто не знает, как выглядит сетка, и, скорее всего, она должна быть изготовлена из «очень мягкого» материала

— Гвидо Каншат

2

Это то, что я обычно делаю.

Определить функцию оптимизации:

Ψ = [\begin{matrix} ψ_{x} \\ ψ_{y} \\ ψ_{z} \end{matrix}]

$\Psi = \left[ \begin{array}{c} \psi_x\\ \psi_y\\ \psi_z\\ \end{array} \right]$

скорость равна:

u = \nabla \times Ψ = [\begin{matrix} u_{x} = \partial_{y} ψ_{z} - \partial_{z} ψ_{y} \\ u_{y} = \partial_{z} ψ_{x} - \partial_{x} ψ_{z} \\ u_{z} = \partial_{x} ψ_{y} - \partial_{y} ψ_{x} \end{matrix}] .

$\mathbf{u} = \nabla\times\Psi = \left[ \begin{array}{c} u_x =\partial_y \psi_z - \partial_z \psi_y\\ u_y =\partial_z \psi_x - \partial_x \psi_z\\ u_z =\partial_x \psi_y - \partial_y \psi_x\\ \end{array} \right].$

Теперь вы можете выбрать любое разумное нулевое усредненное давление и построить форсирующий член.

Я публикую пример кода SymPy для и однородных граничных условий, наслаждайтесь: $\Omega = [0,1]^3$

 from sympy import *

 x,y,z = symbols('x y z')

 X = Matrix([[x],[y],[z]])

 psi = zeros(3,1)
 psi[0,0] = sin(2*pi*x)*y**2*(1-y)**2*z**2*(1-z)**2
 psi[2,0] = x**2*(1-x)**2*y**2*(1-y)**2*sin(2*pi*z)

 curl_psi = zeros(3,1)
 curl_psi[0] = diff(psi[2],X[1]) - diff(psi[1],X[2])
 curl_psi[1] = diff(psi[0],X[2]) - diff(psi[2],X[0])
 curl_psi[2] = diff(psi[1],X[0]) - diff(psi[0],X[1])

— Никола Каваллини
источник