Как теория функционала плотности масштабируется с размером системы?

Теоретически, как время для вычисления теории функционала плотности (DFT) зависит от количества электронов? Меня интересуют «типичные» реализации DFT, такие как VASP, ABINIT и т. Д., А не O (N) -коды.

Самый простой правильный ответ заключается в том, что ДПФ находится в . Это происходит из-за того, что вы в конечном счете диагонализируете гамильтониан с размерностью, пропорциональной числу выборов, и диагонализация технически равна .$O(N_e^3)$$O(n^3)$

На самом деле, DFT - это куча шагов, а разные шаги ограничивают скорость в разных контекстах. Если мы ограничимся плоско-волновым (PW) DFT (VASP, ABINIT, QE и др.), Мы можем сделать более сильные утверждения. Для PW DFT-кодов важно понять, что гамильтониан никогда не сохраняется в виде большой матрицы; вместо этого действие гамильтонова оператора вычисляется и используется в так называемых «итеративных» диагонализаторах (сопряженный градиент, Дэвидсон и т. д.). Эти диагонализаторы формально , где - это стоимость вычисления действия гамильтониана, но, учитывая их роль в более крупном самосогласованном алгоритме, они имеют тенденцию работать намного быстрее.$O(n_e MV)$$MV$

Процесс вычисления действия гамильтониана происходит в несколько шагов:

• Локальный потенциал в реальном пространстве требует БПФ,$O(n_v \ln n_v)$
• Проекция может происходить в реальном или g-пространстве, или соответственно$O(n_a n_p)$$O(n_a n_p n_v)$
• потенциал является диагональю или диагональю блока, или соответственно$O(n_a n_p)$$O(n_a n_p^2)$

все это должно происходить один раз на электрон (действительно, волновая функция), поэтому добавьте ко всем из них коэффициент .$n_e$

С помощью некоторых средств (например, Грамма-Шмидта) волновые функции (собственные функции гамильтониана) должны поддерживаться ортогональными друг другу,$O(n_e^2 n_v)$

Наконец, волновые функции должны быть составлены в электронную плотность. В кодах PW это достигается с помощью одного последнего БПФ на волновую функцию (и сумму), .$O(n_e n_v \ln n_v)$

Обратите внимание, что я несколько разных : относится к объему (на самом деле, это базовый размер), - это количество проекторов на атом, - это число атомов, а - количество. электронов. Формально , и линейно связаны друг с другом ( - небольшое целое число), но вы можете представить увеличение объема с фиксированным числом электронов (добавление вакуума в геометрии слябов / проводов) или увеличение числа проекторов с помощью фиксированное количество атомов и электронов (используя более точный псевдопотенциал).$n$$n_v$$n_p$$n_a$$n_e$$n_v$$n_a$$n_e$$n_p$

Обычно проблемы ограничены БПФ, и в этом случае они фактически равны , что является довольно распространенным ответом в литературе, если не является технически правильным.$O(n^2 \ln n)$