Когда мы используем полиномы Бернштейна в приложении

Когда предпочтительнее использовать полиномы Бернштейна для аппроксимации непрерывной функции вместо использования только следующих предварительных методов численного анализа: «Полиномы Лагранжа», «Простые операторы конечных разностей».

Вопрос в том, чтобы сравнить эти методы.

Многочлены Бернштейна и многочлены Лагранжа охватывают одни и те же пространства. Таким образом, с точки зрения возможных функций, которые можно представить, использование одной или другой не имеет значения. Однако, если вы собираетесь использовать их в качестве базисных функций в методе конечных элементов или в задаче интерполяции, спектральные свойства создаваемого вами линейного оператора будут зависеть от полиномов, выбранных вами в качестве базиса. Это может вызвать различия в сходимости итерационных решателей. Однако, при отсутствии погрешности линейной алгебры, вы получите тот же ответ, используя любой базис.

Сравнение этого с конечными разностными операторами - это отдельная история. Использование полиномов даст вам аппроксимации ошибок по непрерывной норме. Я не так хорошо разбираюсь в конечных различиях, но, насколько я понимаю, вы получите оценку ошибки только в тех местах, которые вы выбрали для дискретизации. Что происходит между этими точками, не так ясно.

Я использую полиномы Бернштейна в методе коллокаций для решения краевых задач для ОДУ и УОП. Они довольно интересные.

Сходимость была экспоненциальной для некоторых линейных BVP, но немного медленнее по сравнению с чебышевской коллокацией, Лежандром Галеркиным и Тау.

Вот рисунок, сравнивающий скорости сходимости с некоторыми чебышевскими спектральными методами. Пример проблемы - линейный BVP:

$\frac{d^2u}{dx^2}-4\frac{du}{dx}+4u = e^x +C \;,\; x \in [-1,1]$

с однородными BC Дирихле, и C является константой .$C=-4e/(1+e)^2$

Я также загрузил эту фигуру на figshare .

Если вы хотите, вы можете проверить код, который я пишу:

http://code.google.com/p/bernstein-poly/

И вот статья из архива, которую я написал о решении эллиптических BVP на квадрате с использованием полиномиальной коллокации Бернштейна.

В прошлом году они отпраздновали столетие полиномов Бернштейна - еще один интересный факт.

В приведенной ниже статье показано, что представление многочленов в форме Бернштейна приводит к численно устойчивым алгоритмам во многих случаях:

Р.Т. Фаруки, В.Т. Раджан, О численном условии полиномов в форме Бернштейна, Компьютерное геометрическое проектирование , том 4, выпуск 3, ноябрь 1987 г., страницы 191-216, DOI: 10.1016 / 0167-8396 (87) 90012-4

Контрольные точки кривой Безье находятся близко к кривой, но не обязательно на кривой. Это точно такая же ситуация, что и для приближения полиномами Бернштейна, и фактически полиномы Бернштейна являются основой для кривой Безье. Вы можете использовать кривую Безье высокого порядка, чтобы нарисовать плавную линию через кривую, заданную зашумленными точками, также никто не сделает этого из-за большого вычислительного усилия. Фактически, полиномиальная интерполяция высокого порядка используется очень редко именно по этой причине, только чебышевская интерполяция иногда является исключением из этого правила.

Но если мы говорим только о полиномиальной интерполяции низкого порядка, то интуитивная спецификация кривой Безье через контрольные точки является явным преимуществом перед другими методами. Тем не менее, в этом отношении NURBS даже лучше, но, по крайней мере, кривая Безье является частным случаем NURBS, и многочлены Бернштейна также являются важным компонентом для NURBS.