Как именно работает * полный * многосеточный алгоритм?

Итак, я понимаю (или, по крайней мере, я верю, что знаю), как работает V-цикл. Я написал в Matlab 1-D, рекурсивную версию V-цикла. Однако, когда я запустил свой код для FMG, мое решение не сходилось. Я полагаю, что моя проблема заключается в моем понимании фактической части FMG. То, что я в настоящее время знаю, это:

Непосредственно перед ОГФ Интерполяция, я расслабился мое решение $u$
Интерполируйте и ошибку, и (?) $u$
Выполнить 2-сеточный v-цикл, передав ошибку в v-цикл (?)
Ослабьте ошибку (на 2-й самой грубой сетке)
Интерполяция и ошибка $u$
Обновление , добавив ошибку к нему. $u$
Запустите v-цикл, затем повторите с шага 4.

Я не уверен насчет порядка, но я также могу ошибаться в том, что именно я интерполирую и передаю в свой v-цикл. Если я что-то упустил из алгоритма, пожалуйста, дайте мне знать.

multigrid

— AlanH
источник

Откуда у вас возникла интерполяция «ошибки»? (А как вы измеряете ошибку?)

$u$ $u^h \gets \mathbb{I}_H^h u^H$ $\mathbb{I}_h^H = I_h^H$

$r^h = A^h u^h - b^h$

В ФАС, тонкая сетка состояние ограничивается использованием государственного ограничения оператора . Ограничение состояния не требуется при многосеточной линейной коррекции дефектов (удобный атрибут). Наиболее распространенные ограничения состояния - узловая инъекция (для FD и FE) и грубые средние значения клеток (для FV и смешанной FE). Теперь мы можем записать уравнение грубой сетки FAS (в равной степени справедливо для нелинейного ) как $\tilde u^H \gets \hat I_h^H \tilde u^h$ $A$

A^{H} u^{H} = \underset{b^{H}}{\underset{⏟}{I_{h}^{H} b^{h}}} + \underset{τ_{h}^{H}}{\underset{⏟}{A^{H} {\hat{I}}_{h}^{H} {\tilde{u}}^{h} - I_{h}^{H} A^{h} {\tilde{u}}^{h}}}

$A^H u^H = \underbrace{I_h^H b^h}_{b^H} + \underbrace{A^H \hat I_h^H \tilde u^h - I_h^H A^h \tilde u^h}_{\tau_h^H}$

где мы определили грубое представление правой части, , и дополнительную поправку которая представляет влияние тонкой сетки на уравнение грубой сетки. Обратите внимание на то свойство, что ограничение точного сеточного решения удовлетворяет уравнению грубой сетки: . После решения уравнения грубой сетки FAS интерполирует изменение , что приводит к обновленному точному решению . $b^H$ $\tau_h^H$ $u^{h*}$ $A^H \hat I_h^H u^{h*} = b^H + \tau_h^{H*}$ $u^h \gets \tilde u^h + I_H^h (u^H - \hat I_h^H \tilde u^h)$

— Джед браун
источник

Ошибка была вычислена, как я вычислил остатки при переходе от самой тонкой к самой грубой сетке. Его начальное приближение на сетку равно нулю, где оно затем ослабляется некоторым итерационным методом.

— AlanH

Как ошибка (первоначального предположения при решении) играет роль во всем этом?

— AlanH

1. Ошибка сильно отличается от остаточной и, как правило, недоступна до конвергенции (поскольку точное знание ошибки означает, что вы также знаете решение). MG никогда не перемещает «ошибку», только остатки, состояние и приращения состояния. 2. ОГФ начальное предположение о тонкой сетке интерполяции решения последней сетки, .

u^{h} \leftarrow I_{H}^{h} u^{H}

$u^h \gets \mathbb{I}_H^h u^H$

— Джед Браун

В двухблочной схеме коррекции Бриггса конкретно упоминается ошибка интерполяции от грубой до точной сетки. Не звучит упрямо, но отличается ли это от того, что вы объяснили?

— AlanH

T = I - P^{- 1} A

$T = I - P^{-1}A$

e_{n + 1} = T e_{n}

$e_{n+1} = T e_n$