Стратегии для метода Ньютона, когда якобиан в решении сингулярен

12

Я пытаюсь решить следующую систему уравнений для переменных и (все остальные являются константами): $P,x_1$ $x_2$

\frac{A (1 - P)}{2} - k_{1} x_{1} = 0 \frac{A P}{2} - k_{2} x_{2} = 0 \frac{(1 - P) (r_{1} + x_{1})^{4}}{L_{1}} - \frac{P (r_{1} + x_{2})^{4}}{L_{2}} = 0

$\frac{A(1-P)}{2}-k_1x_1=0 \\ \frac{AP}{2}-k_2x_2=0 \\ \frac{(1-P)(r_1+x_1)^4}{L_1}-\frac{P(r_1+x_2)^4}{L_2}=0$

Я вижу, что могу превратить эту систему уравнений в одно уравнение одной переменной , решив уравнения 1 и 2 для и соответственно и подставив их в уравнение 3. При этом я могу используйте команду matlab, чтобы найти решение. Используя параметры , и , я нашел истинное решение $(P)$ $x_1$ $x_2$ fzero $k_1=k_2=1$ $r_1=r_2=0.2$ $A=2$ . $P=x_1=x_2=0.5$

Однако, когда я использую метод Ньютона, примененный к исходной системе уравнений 3 - 3, итерации никогда не сходятся к решению, независимо от того, насколько близко я начинаю к истинному решению . $x^*=(P^*,x_1^*,x_2^*)=(0.5,0.5,0.5)$

Сначала я заподозрил ошибку в реализации метода Ньютона. После проверки несколько раз, я не нашел ошибки. Затем я попытался использовать начальное предположение , и вот, якобиан является сингулярным. Я знаю, что единичный якобиан может уменьшить порядок сходимости, но я не думаю, что это обязательно препятствует сходимости к истинному решению. $x_0=x^*$

Итак, мой вопрос: учитывая, что якобиан системы при истинном решении является единственным:

Какие еще условия необходимы, чтобы доказать, что метод Ньютона не сходится к корню?
Будет ли стратегия глобализации (например, поиск строки) гарантировать конвергенцию, несмотря на единственное число якобиана?

optimization convergence newton-method

— Пол
источник

4

(1): Это зависит от поведения производных якобиана (sic!) В нулевом пространстве якобиана при решении. На практике никто не вычисляет эти производные, и я даже не удосужился вспомнить точные условия.

(2) работает, хотя сходимость только линейная.

Для получения суперлинейной сходимости (по крайней мере, в большинстве случаев) можно использовать тензорные методы. См., Например,
https://cfwebprod.sandia.gov/cfdocs/CCIM/docs/SAND2004-1944.pdf
http://www.jstor.org/stable/10.2307/2156931
http://www.springerlink.com/ индекс / X5G827367G548327.pdf

— Арнольд Ноймайер
источник

3

Вместо линейного поиска вы можете попробовать изменить метод Ньютона на алгоритм Левенберга-Марквардта . Реализация достаточно проста, если вы используете Matlab.

— Лео Уиеда
источник