Когда метод высокого порядка полезен для компьютерного моделирования динамики жидкости?

Многие численные подходы к CFD могут быть расширены до произвольно высокого порядка (например, разрывные методы Галеркина, методы WENO, спектральное дифференцирование и т. Д.). Как мне выбрать подходящий порядок точности для данной проблемы?

На практике большинство людей придерживаются относительно низких заказов, обычно первого или второго порядка. Эта точка зрения часто оспаривается более теоретическими исследователями, которые верят в более точные ответы. Скорость сходимости для простых гладких задач хорошо документирована, например, см. Сравнение Биллом Митчеллом hp-адаптивности .

В то время как для теоретических работ приятно видеть, какова скорость сходимости, для более ориентированных на приложения среди нас эта проблема сбалансирована с основополагающими законами, необходимой точностью и сложностью кода. Это не имеет большого значения, так как во многих задачах с пористой средой, которые решаются на средах с высокой степенью прерывности, чтобы иметь методы высокого порядка, числовая ошибка будет доминировать над ошибками дискретизации. То же самое касается проблем, которые включают большое количество степеней свободы. Поскольку неявные методы низкого порядка имеют меньшую полосу пропускания и зачастую более качественную обработку, метод высокого порядка становится слишком дорогостоящим для решения. Наконец, сложность кода переключения порядков и типов полиномов обычно слишком велика для аспирантов, использующих коды приложений.

Рекомендации: Методы высокого порядка для задачи, где ожидается, что решение будет гладким, и другие методы и / или методы низкого порядка, которые могут обрабатывать разрывы в решениях. В случаях, когда могут использоваться методы высокого порядка, может быть значительная экономия вычислительных усилий, измеряемых с точки зрения времени ЦП, в результате высокой скорости сходимости. Для эллиптических задач, которые требуют решения линейных систем, методы высокого порядка приводят к менее разреженным операторам, и это должно быть компенсировано более высокой скоростью сходимости. Для задач, зависящих от времени, если методы высокого порядка могут быть использованы, более высокая скорость сходимости и более высокая точность могут быть достигнуты, а в течение длительного времени интеграции методы высокого порядка превосходят с точки зрения как точности, так и вычислительных усилий из-за низкой численной дисперсии и ошибок рассеяния ,

Методы более высокого порядка могут использоваться, например, для решения уравнения набора уровней при его использовании для описания двухфазного потока жидкости в рамках метода конечных объемов. В этом случае схемы WENO и ENO используются для добавления функции установки уровня, а шаг повторной инициализации используется для поддержания ее в качестве функции расстояния от интерфейса жидкости.

Проверьте это: http://ftp.cc.ac.cn/lcfd/WENO_mem.html

По сути, они используются при моделировании CFD при работе с разрывами в потоке.

Всегда выполняйте как минимум два разных заказа. По репрезентативной проблеме решайте один раз, используя каждый заказ. Сравните два на сетке достаточно хорошо, чтобы сойтись в нижнем порядке. Убедитесь, что ваши два ответа достаточно близки, что дает некоторое представление о том, что численное поведение схемы более низкого порядка не нанесло значительного ущерба решению. Если это так, бросьте схему более низкого порядка и начните сначала.

Предполагая, что вам не нужно начинать все сначала, огрубите сетку для более высокого порядка, насколько это возможно, при этом сохраняя достаточно точное решение, измеряемое конкретным интересующим вас количеством. Сравните вычислительную стоимость для более низкого порядка на более мелкой сетке с более высокой стоимостью на более грубой сетке.

Выберите тот, который более выгоден с точки зрения эксплуатации. Документируйте процесс для скептиков, чтобы вы могли повторить его при изменении репрезентативной проблемы или количества процентов.