Численные методы для разрывных rs ОДУ

Каковы современные методы численного решения ОДУ с прерывистой правой стороной? В основном меня интересуют кусочно-гладкие функции правой стороны, например, знак.

Я пытаюсь решить уравнение следующего типа:

\begin{aligned} \dot{x} & = v \\ \dot{v} & = {\begin{cases} (| F_{external} | - | F_{friction} |) sign (F_{external}) & : | F_{external} | < | F_{friction} | \\ 0 & : otherwise \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align*} \dot x &= v\\ \dot v &= \begin{cases} (|F_\text{external}| - |F_\text{friction}|) \mathop{\rm sign} (F_\text{external}) & :|F_\text{external}| < |F_\text{friction}|\\ 0 & : \text{otherwise} \end{cases} \end{align*}$

ode

— Андрей Шевляков
источник

Привет @ АндрейШевляков и добро пожаловать в Scicomp! Есть ли определенный класс ODE, который вас интересует?

— Пол

Привет, Пол! Да, в настоящее время я пытаюсь реализовать своего рода модель сцепления с трением.

— Андрей Шевляков

Не могли бы вы включить уравнения, которые вы хотите решить в свой вопрос? Это поможет сузить конкретные методы, применимые к вашей проблеме.

— Павел

Я добавил пример к посту

— Андрей Шевляков

Когда я работал над ACSL, он включал в себя root-искатель, так что вы могли заставить его искать время, когда скорость равнялась нулю, и затем начинать заново с этой точки с новыми rhs.

— Майк Данлавей,

Ответы:

См. Новую книгу Дэвида Стюарта (2011) на эту тему « Динамика с неравенствами: последствия и жесткие ограничения» . Проблемы кулоновского трения упоминаются несколько раз в главах анализа.

Глава 8 посвящена численным методам для негладких ОДУ и DAE. Он в основном защищает полностью неявные методы Рунге-Кутты с особым подходом к негладкости. Обратите внимание на раздел 8.4.4, в котором указано, что если вы не точно определите точки негладкости, все методы ухудшаются до точности первого порядка , поэтому неявный Эйлер (с модификациями для негладкости) популярен на практике. Кроме того, решения проблем , связанных с бесконечномерным неравенств , как правило , не кусочно - гладкой, поэтому теория дает лишь сходимость, хотя на практике, $\mathcal{O}(h)$ $\mathcal{O}(h^{1/2})$ $\mathcal{O}(h)$ часто наблюдается.

— Джед браун
источник

Большое спасибо! Вы знаете, есть ли где-нибудь доступные реализации?

— Андрей Шевляков

Не то, что я знаю, но реализация простых схем не должна быть слишком сложной, если у вас есть решатель для статических вариационных неравенств.

— Джед Браун

Самая значимая ссылка, о которой я знаю, это тезис Дэвида Стюарта, которому более 20 лет:

Высокоточные численные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений с прерывистой правой частью

Аннотация ссылается на несколько значительных ранних работ. Ключевое слово здесь - дифференциальное включение .

— Дэвид Кетчесон
источник

Как уже указывал Майк Данлавей в комментарии, это часто делается с использованием так называемых функций пересечения нуля , то есть функций $g(t, x(t)) \in \mathbb{R}$ $>0$ $<0$

Например, если у вас есть движущаяся масса с блоком, то расстояние между массой и блоком можно использовать как функцию пересечения нуля.

Многие решатели ODE (например, SUNDIALS CVODE) автоматически проверяют, изменила ли какая-либо из функций пересечения нуля свой знак в течение последнего временного шага. Если это так, то метод определения корня используется для определения точного местоположения корня. Затем решатель может быть перезапущен с этой конкретной позиции. Это делается либо автоматически самим решателем, либо вручную вызывающим кодом.

— Флориан Брукер
источник

Для целей поиска: можно также говорить о «месте проведения мероприятия»; У Hairer / Nørsett / Wanner есть хорошее обсуждение этого вопроса.

— JM