Алгоритмы для линейной системы ОДУ

Интересно: каков наилучший алгоритм для решения где - вещественная матрица . A не является явно зависимым от времени, обычно разреженным, но не обязательно полосатым. Его собственные значения имеют неположительные реальные части. A также диагонализуем, но может быть слишком большим для полной диагонализации, чтобы быть вычислительно эффективным.

\frac{d u}{d t} = A u

$\begin{equation} \frac{du}{dt} = Au \end{equation}$

A

$A$

n \times n

$n\times n$

Есть неявное правило трапеции, которое я имел хороший опыт.

(I - \frac{Δ t}{2} A) u_{n + 1} = (I + \frac{Δ t}{2} A) u_{n}

$\begin{equation} \left(I-\frac{\Delta t}{2} A\right) u_{n+1} = \left(I+\frac{\Delta t}{2} A\right) u_{n} \end{equation}$

А как насчет явных методов или аппроксимаций Паде? Кроме того, как это изменится, если в RHS будет добавлен принудительный термин?

linear-algebra ode

— Габриэль Ланди
источник

Нам действительно нужно больше информации об A. В зависимости от расположения собственных значений, стабильность может быть проблемой, влияющей на выбор между явными или неявными методами. Также имеет значение, в каком порядке вы хотели бы и будет ли А изменяться во времени / в зависимости от того, нужен ли вам жесткий решатель. Там действительно не хватает информации, чтобы сделать информированный ответ.

— Годрик Провидец

@GodricSeer Спасибо, Годрик. Я добавил некоторые предположения о .

A

$A$

— Габриэль Ланди

@GabrielLandi Вам нужно будет добавить больше информации, чтобы получить конкретный ответ. Насколько большой ? Является ли нормально? Собственные значения реальны, мнимы или сложны? Насколько они велики (наибольшая и наименьшая величина)?

A

$A$

A

$A$

A

$A$

— Дэвид Кетчон

Поскольку ваша матрица не зависит от результатом является экспоненциальная матрица, умноженная на начальный вектор. Стандартное обсуждение подходящего метода можно найти по адресу http://scholar.google.at, выполнив поиск по «Девятнадцати сомнительным путям». $u$

Алгоритм масштабирования и возведения в квадрат (наименее сомнительный) см. Также http://blogs.mathworks.com/cleve/2012/07/23/a-balancing-act-for-the-matrix-exponential/

— Арнольд Ноймайер
источник