Трудность со спектральным методом с использованием полиномов Чебышева

У меня есть небольшие трудности в попытке понять статью. В статье используется спектральный метод для определения собственного значения, которое исходит из системы связанных ODE. Сейчас я напишу только одно уравнение, потому что этого достаточно, чтобы понять суть моего вопроса (вопросов).

Уравнение

$V[r] = \frac{e^{-(\nu[r] +\lambda[r])}}{\epsilon[r] + p[r]} *\biggr[ (\epsilon[r] + p[r])( e^{\nu[r] +\lambda[r]})r W[r] \biggr]'$

Я выполняю производную и получаю

(Уравнение 1) $V = \biggr[ \frac{\epsilon' +p'}{\epsilon + p} + r(\nu'+\lambda') +1 \biggr] W + r W'$

Теперь согласно статье я должен быть в состоянии расширить равновесные величины ) системы как полиномы Чебышева вида $(\epsilon ,p ,\nu ,\lambda$

, где- многочлены. Я знаюкак получитьпомощью кодая написал в Mathematica. Также, а областьравна. $B[r] = \Sigma_{i=0}^{\infty}b_i T_i[y] - \frac{1}{2} b_0$ $T_i[y]$ $b_i$ $y = 2(r/R) -1$ $r$ $(0,R)$

В статье также говорится, что функции ( ) можно расширить как $V,W$ , и что в целом такой термин, какможет быть выражен как $F[r] = (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}f_i T_i[y] - \frac{1}{2} f_0$ $B[r]F[r]$

$B[r]F[r] = \frac{1}{2} (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty} \pi_i T_i[y] - \frac{1}{2} \pi _0$

где и для и равно 1 для . $\pi_i = \Sigma_{j=0}^{\infty}[b_{i+j} + \Theta(j-1)b_{|i-1|} ] f_l$ $\Theta(k) = 0$ $k<0$ $k\geq 0$

С учетом всего сказанного, допустим, я выполняю следующие функции равновесия

и, тогда становится EQ1 $\frac{\epsilon' +p'}{\epsilon + p} = B_1[r]$ $r(\nu'+\lambda') = B_2[r]$

(Уравнение 2) . $\bigg((\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}v_i T_i[y] - \frac{1}{2} v_0 \bigg) = \biggr[ B_1[r] + B_2[r] +1 \biggr] \biggr( (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}w_i T_i[y] - \frac{1}{2} w_0 \biggr) + r W'$

Вопрос 1: Что мне делать с условия? Полиномы являются функциями оттак как я могу даже иметь разложение вроде $(\frac{r}{R})^l$ $[y]$ X функция от [y]? Кроме того, похоже, что я могу просто разделить их по каждой части уравнения, так в чем же смысл введения этого термина? Я имею в виду, согласно статье этот термин должен накладывать граничное условие, чтостремятся к нулю, ак нулю. $B[r]= (\frac{r}{R})^l$ $V,W$ $r$

* Вопрос2: * Как я должен иметь дело с в термине . В статье дается описание того, как обращаться с производными терминами, но как насчет самого . Должен ли я рассматривать это как равновесное значение и использовать правило для таких терминов, как или я должен выразить это в терминах . Или я должен сделать что-то еще вообще? $r$ $r*W'$ $r$ $B[r]F[r]$ $r$ $y$

eigenvalues polynomials spectral-method

— tau1777
источник

Возможно, вы можете сослаться на статью, на которую вы ссылаетесь?

— Арон Ахмадиа

Привет, Арон, вот ссылка arxiv.org/pdf/gr-qc/0210102.pdf Числовые вещи, с которыми у меня возникли проблемы, описаны в Приложении A, а уравнение, которое я рассматривал выше, - это уравнение (19). Благодарю.

— tau1777

Обратите внимание, что сам

является (линейной) функцией от

y

$y$

\frac{r}{R}

$\frac{r}{R}$

r

$r$