При каких обстоятельствах интеграция Монте-Карло лучше, чем квази-Монте-Карло?

Достаточно простой вопрос: чтобы сделать многомерный интеграл, учитывая, что кто-то решил, что какой-то метод Монте-Карло является подходящим, есть ли преимущество, которое имеет регулярная интеграция MC с использованием псевдослучайных чисел по сравнению с интеграцией квази-Монте-Карло с использованием квазислучайной последовательности ? Если да, то как бы я узнал ситуации, когда это преимущество вступит в игру? (А если нет, то почему кто-то использует обычную интеграцию Монте-Карло?)

Моделирование методом Монте-Карло является методом выбора для расчета рассеяния электронов. Иногда используются такие трюки, как выборка по важности, так что вы можете сказать, что это не простой старый Монте-Карло. Но главное, вероятно, здесь моделируется случайный процесс, а вы спрашиваете только об использовании Монте-Карло для интеграции.

Поскольку никто не пытался предложить ответ, позвольте мне немного расширить свой ответ. Предположим, у нас есть моделирование рассеяния электронов, где вычисляется только одно число, например коэффициент обратного рассеяния. Если бы мы переформулировали это как многомерный интеграл, он, вероятно, был бы бесконечномерным интегралом. С другой стороны, при моделировании одной траектории требуется только конечное число случайных чисел (это число может стать достаточно большим, если принять во внимание генерацию вторичных электронов). Если бы мы использовали квазислучайную последовательность, такую ​​как выборка из латинского гиперкуба, нам пришлось бы использовать приближение с фиксированным числом измерений и генерировать случайное число для каждого измерения для каждой точки выборки.

Поэтому я думаю, что разница заключается в том, выбирается ли какой-то многомерный единичный гиперкуб по сравнению с бесконечномерным облаком вероятности вокруг источника.

Некоторые из моих исследований включают решение крупномасштабных стохастических дифференциальных уравнений в частных производных. В этом случае традиционное приближение Монте-Карло интеграла интереса сходится слишком медленно, чтобы оно было целесообразным в практическом смысле ... то есть я не хочу запускать в 100 раз больше симуляций, чтобы получить десятичную точку большей точности к интегралу. Вместо этого я склонен использовать другие методы, такие как разреженные сетки смоляков, потому что они предлагают лучшую точность при меньшем количестве оценок функций. Это возможно только потому, что я могу предположить определенную степень плавности в функции.

Разумно предположить, что если вы ожидаете, что функция, которую вы интегрируете, будет иметь определенную структуру (например, гладкость), было бы лучше использовать схему квазимонте-карло, которая ее использует. Если вы действительно не можете сделать очень много предположений относительно функции, то Монте-Карло - единственный инструмент, который я могу придумать, чтобы справиться с этим.

Преимущества традиционной интеграции Монте-Карло по интеграции квази-Монте - Карло обсуждаются в Kočiš и бумаги Забелите в здесь . Они перечисляют следующие причины:

• $\mathcal{O}(\log(N)^{d}/N)$$\mathcal{O}(N^{-1/2})$$N$$\mathcal{O}(N^{-1/2})$$d \approx 40$$d$ с тех пор немного увеличился.)

• $$\mathrm{error} \le V[f]D_{N}^{*}$$ $V[f]$$f$$D_{N}^{*}$

  К сожалению, теоретическая граница несоответствия существующих последовательностей не применима для умеренных и больших значений s. Другой вариант, численная оценка несоответствия звезды последовательности для больших s, требует чрезмерных вычислительных усилий, и даже разумные численные оценки таких расхождений очень трудно получить.

  При традиционной интеграции Монте-Карло мы можем указать цель ошибки и подождать, потому что граница ошибки легко вычисляется. С QMC мы должны указать ряд оценок функций и надеяться, что ошибка находится в пределах нашей цели. (Обратите внимание, что существуют методы для преодоления этого, например, рандомизированный квази-Монте-Карло, где множественные квази-Монте-Карло оценки используются для оценки ошибки.)

• $\mathcal{O}(1/N^{1/2+2/d})$

• Чтобы квази-Монте-Карло побил традиционный Монте-Карло, подынтегральное выражение должно иметь «низкую эффективную размерность». Смотрите статью Арт Оуэна на эту тему здесь .