Численная устойчивость полиномов Зернике высших порядков

Я пытаюсь вычислить моменты Zernike более высокого порядка (например m=0, n=46) для некоторого изображения. Тем не менее, я сталкиваюсь с проблемой, касающейся радиального полинома (см. Википедию ). Это полином, определенный на интервале [0 1]. Смотрите код MATLAB ниже

function R = radial_polynomial(m,n,RHO)
    R = 0;
    for k = 0:((n-m)/2)        
        R = R + (-1).^k.*factorial(n-k) ...
            ./ ( factorial(k).*factorial((n+m)./2-k) .* factorial((n-m)./2-k) ) ...
            .*RHO.^(n-2.*k);
    end
end

Тем не менее, это, очевидно, сталкивается с численными проблемами рядом RHO > 0.9.

Я попытался реорганизовать его, polyvalдумая, что у него могут быть какие-то лучшие закулисные алгоритмы, но это ничего не решило. Преобразование его в символьное вычисление создало желаемый граф, но было ошеломительно медленным даже для простого графика, такого как показано.

Существует ли численно устойчивый способ оценки таких многочленов высокого порядка?

В этой статье Хонарвар и Парамесран выводят интересный метод вычисления радиальных полиномов Цернике очень хорошим рекурсивным способом. Формула рекурсии удивительно проста, без деления или умножения на большие целые числа:

Это реализовано в следующем скрипте Octave:

clear                                     % Tested with Octave instead of Matlab
N = 120;
n_r = 1000;
R = cell(N+1,N+1);
rho = [0:n_r]/n_r;
rho_x_2 = 2*[0:n_r]/n_r;

R{0+1,0+1} = ones(1,n_r+1);               % R^0_0  Unfortunately zero based cell indexing is not possible
R{1+1,1+1} = R{0+1,0+1}.*rho;             % R^1_1  ==>  R{...+1,...+1} etc.
for n = 2:N,
    if bitget(n,1) == 0,                  % n is even
        R{0+1,n+1} = -R{0+1,n-2+1}+rho_x_2.*R{1+1,n-1+1};                % R^0_n
        m_lo = 2;
        m_hi = n-2;
    else
        m_lo = 1;
        m_hi = n-1;
    end
    for m = m_lo:2:m_hi,
        R{m+1,n+1} = rho.*(R{m-1+1,n-1+1}+R{m+1+1,n-1+1})-R{m+1,n-2+1};  % R^m_n
    end
    R{n+1,n+1} = rho.*R{n-1+1,n-1+1};                                    % R^n_n
end;


Z = @(m,n,rho) (-1)^((n-m)/2) * rho.^m .* jacobiPD((n-m)/2,m,0,1-2*rho.^2);
m = 22;
n = 112;
figure
plot(rho,Z(m,n,rho))
hold on
plot(rho,R{m+1,n+1},'r');
xlabel("rho")
ylabel("R^{22}_{112}(rho)")
legend("via Jacobi","recursive");
%print -djpg plt.jpg

m = 0;
n = 46;
max_diff_m_0_n_46 = norm(Z(m,n,rho)-R{m+1,n+1},inf)

Например, рисунок, созданный этим кодом, показывает, что с $m = 22$, а также $n = 112$, катастрофическая отмена происходит вблизи $\rho = 0.7$, если радиальные полиномы Зернике вычисляются с помощью полиномов Якоби. Следовательно, нужно также беспокоиться о точности полиномов Цернике нижней степени.

Рекурсивный метод, по-видимому, гораздо лучше подходит для стабильного вычисления этих полиномов Цернике высшего порядка. Тем не менее, для$m = 0$ а также $n = 46$максимальная разница между Якоби и рекурсивным методом составляет (только?) 1.4e-10, которая может быть достаточно точной для вашего приложения.

Возможное решение (предложенное @gammatester) заключается в использовании полиномов Якоби. Это позволяет обойти проблему катастрофической отмены при сложении больших полиномиальных коэффициентов путем «наивной» полиномиальной оценки.

Радиальный многочлен Зернике может быть выражен многочленами Якоби следующим образом (см. Уравнение (6) )

В MATLAB, однако, использование jacobiP(n,a,b,x)неприемлемо медленно для больших векторов / матриц x=rho. Эта jacobiPфункция на самом деле является частью Symbolic Toolbox, и оценка полинома откладывается на символический механизм, который обменивает скорость на произвольную точность. Таким образом, необходима ручная реализация полиномов Якоби.

Поскольку все параметры функции Якоби неотрицательны ($\alpha=m$, $\beta=0$, $n^*=(n-m/2)$), мы можем использовать следующее выражение (см. Википедия , обратите внимание, что я заполнил значения для$s$)

В MATLAB, это приводит к (Jacobi р olice д epartment Р olynomial, ' D ouble' реализации)

function P = jacobiPD(n,a,b,x)
    P = 0;
    for  s  0:n
        P = P + ...
            1/(factorial(s)*factorial(n+a-s)*factorial(b+s)*factorial(n-s)) * ...
            ((x-1)/2).^(n-s).*((x+1)/2).^s;
    end
    P = P*factorial(n+a) * factorial(n+b);
end

Таким образом, фактический радиальный полином Зернике является (для m=abs(m))

Z = @(m,n,rho) (-1)^((n-m)/2) * rho.^m .* jacobiPD((n-m)/2,m,0,1-2*rho.^2);

Примечание: этот ответ на себя - только практическое решение; не стесняйтесь отмечать другой ответ, который объясняет, почему это работает.