Численное восстановление мнимой части аналитического продолжения из реальной части

Моя ситуация.

У меня есть функция комплексной переменной определенной через сложный интеграл. Меня интересует значение этой функции на мнимой оси. У меня есть цифровой доступ к этой функции на следующей ленте: . Формально интегральное выражение расходится вне этой области, и поэтому мне нужно аналитическое продолжение. Подводя итог моей ситуации на картинке, $f(z)$ $z=(x,y)\in (-\infty,\infty)\times[-1,1]$

Вот что я знаю о на этой ленте из чисел: $f(z)$

Одновременно симметрично относительно мнимой и реальной осей.
Он уменьшается до нуля в . $Re(z)\rightarrow\infty$
Это взрывается около . Это может быть столб или точка разветвления, я не знаю. Я подозреваю, что природа этой особенности (и, возможно, всех других изолированных особенностей аналитического продолжения) зависит от конкретной параметризации этой функции (подробности см. Ниже в интеграле) $z=\pm i$ $\xi$

На самом деле это выглядит очень похоже на или при построении. Вот сюжет реальной части: $\text{sech}^2(z)$ $1/(1+z^2)^{2n}$

Мой вопрос, учитывая огромное количество информации, которую я имею о функции (общий числовой доступ к ней на этой ленте), есть ли какой-то способ для меня для численного расчета приближения к этой функции вдоль воображаемой оси? Кстати, я использую Mathematica.

Причина, по которой меня интересуют значения вдоль мнимой оси, заключается в том, что мне нужно оценить следующее преобразование Фурье этой функции:

\begin{matrix} (1) & \bar{f} (t) = \int_{- \infty}^{\infty} d x e^{i t x} \frac{1}{x^{2} + x_{0}^{2}} f (x) \end{matrix}

$\bar{f}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} dx\, e^{itx}\frac{1}{x^2+x^2_0} f(x) \tag{1}$

для больших значений , который в моем случае на самом деле порядка . Хотя я хорошо знаю подынтегральное выражение, это преобразование Фурье является чрезвычайно колебательным, поэтому единственный способ, которым я знаю, как это вычислить, - это интеграция по Контуру. $t$ $10$

Что я уже пробовал.

Я на самом деле пытался вычислить окончательный сильно колебательный интеграл, ур. (1). Оценка экв. (1) для одного значения 't' требуется несколько часов для вычисления. Я уже выполнил некоторые из этих интегралов, и результаты действительно имеют смысл, но я бы хотел альтернативный подход.
Я попытался аналитически продолжить аппроксимации Паде, но это также дорого в вычислительном отношении, но не так сильно, как прямая оценка. Что еще более важно, я не мог установить сходимость при увеличении порядка аппроксимантов (или среднего значения их частичных сумм!), Что контрастирует с тем, как прошли мои тесты с простыми функциями, такими как (я мог легко получить очень быстро сходимость в широких диапазонах комплексной плоскости с простыми тестовыми функциями). $\text{sech}^2(z)$ $z$
Я пробовал символическую интеграцию безрезультатно. Я пытался массировать подынтегральное выражение в более удобоваримую форму для Mathematica, но мои попытки не увенчались успехом.

Оскорбляющий интеграл.

Пусть , , и - положительные действительные числа, а - интересующее нас комплексное число (играет роль в предыдущем обсуждении). Определение: $k_4$ $k_{\perp}$ $\xi$ $\alpha$ $E$ $z$

\begin{aligned} p_{1}^{2} & = {(k_{4} + \frac{1}{2} E)}^{2} + k_{⊥}^{2} + α^{2} \\ p_{2}^{2} & = {(k_{4} - \frac{1}{2} E)}^{2} + k_{⊥}^{2} + (1 - α)^{2} \end{aligned}

$\begin{align} p_1^2&=\left(k_4+\frac{1}{2}E\right)^2+k_{\perp}^2+\alpha^2\\ p_2^2&=\left(k_4-\frac{1}{2}E\right)^2+k_{\perp}^2+(1-\alpha)^2 \end{align}$

Интересующий меня интеграл следующий:

\begin{aligned} f (E; α, ξ) & = \int_{- \infty}^{\infty} d k_{4} \int_{0}^{\infty} d (k_{⊥}^{2}) [\frac{α (1 + p_{1}^{2})^{3 ξ / 2} (1 + p_{2}^{2})^{ξ / 2}}{(1 + p_{1}^{2} (1 + p_{1}^{2})^{2 ξ}) (1 + p_{2}^{2} (1 + p_{2}^{2})^{2 ξ})} + + (p_{1} \leftrightarrow p_{2})] \end{aligned}

$\begin{align} f(E;\,\alpha,\xi)&=\int_{-\infty}^{\infty} dk_4 \int_{0}^{\infty} d(k_{\perp}^2)\left[\frac{\alpha (1+p_1^2)^{3\xi/2}(1+p_2^2)^{\xi/2}}{(1+p_1^2(1+p_1^2)^{2\xi})(1+p_2^2(1+p_2^2)^{2\xi})}+\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+(p_1\leftrightarrow p_2)\right] \end{align}$

где я подавил обозначения функциональной зависимости в подынтегральном выражении для краткости. Меня особенно интересуют значения , диапазон и (как указано выше) преобразование Фурье (1) для . $\xi=1,2,3$ $0<\alpha<1$ $t~10$

integration mathematica complex-analysis

— Артуро дон Хуан
источник

R + 0.99 i

$\mathbb{R}+0.99\mathrm{i}$

\bar{f}

$\bar f$

f

$f$

f

$f$

\bar{f}

$\bar f$

\bar{f}

$\bar{f}$

\bar{f}

$\bar{f}$

α \in [- 1, 2]

$\alpha\in [-1,2]$

0.1

$0.1$

Я написал это, но обнаружил проблему с моим кодом, так что я больше не уверен, действительно ли то, что я вычислил, действительно. У вас есть какие-либо известные действительные эталонные значения?

— Кирилл

Примечание: я несколько обеспокоен тем, что целочисленные значения, которые Mathematica дает мне, являются поддельными. Я думал, что это сработало, потому что за короткий промежуток времени он дал ощутимый результат, но, возможно, дело в том, что метод, который он пытается использовать, глючит или что я сделал что-то не так. Возможно, приведенный ниже код вообще не работает, я не знаю, извините.

Примечание 2: Меня это беспокоило, поэтому я написал другую версию ( код здесь , извините за качество кода), используя Julia и GSL, и он оценивает gчерез 2 секунды тот же ответ, который Mathematica дает ниже. Поэтому я думаю, что код, вероятно, в порядке.

$f$ $\bar f$

Мой прошлый опыт численного интегрирования приводит меня к убеждению, что более интересные математические методы иногда могут быть чрезвычайно полезны, но также и то, что оценка числовых преобразований Фурье и интегрирование рациональных и алгебраических функций являются первоочередной задачей алгоритмов численного интегрирования, поэтому часто можно сделать легкий прогресс, тщательно выбирая алгоритмы и играя с их параметрами. Обычно это более простой вариант, если трудно понять, как заставить математическую технику работать правильно.

ClearAll[ξ, α, p1, p2, fi, f, g];
ξ = 1;
α = 1/2;
fi[e_, k4_, kp_] := Module[{
   p1 = (k4^2 + e/2)^2 + kp^2 + α^2,
   p2 = (k4^2 - e/2)^2 + kp^2 + (1 - α)^2},
  2 * (* because integrate k4 over (0,∞) *)
   2 kp * (* because d(kp^2) *)
   (α (1 + p1)^(3 ξ/2) (1 + p2)^(ξ/2)) /
     ((1 + p1 (1 + p1)^(2 ξ)) (1 + p2 (1 + p2)^(2 ξ)))
  ]
f[e_?NumericQ] := NIntegrate[
   fi[e, k4, kp], {k4, 0, ∞}, {kp, 0, ∞},
   Method -> {Automatic, "SymbolicProcessing" -> 0}];

(* !!! This gives a bogus result: *)
gBogus[t_?NumericQ, e0_?NumericQ] := 
 NIntegrate[
  Exp[I t e]/(e^2 + e0^2) f[e], {e, -∞, ∞}, 
  Method -> {"DoubleExponentialOscillatory", 
    "SymbolicProcessing" -> 0}]

(* This gives *a* result, different from above despite being equivalent *)
g[t_?NumericQ, e0_?NumericQ] := 
 NIntegrate[Exp[I t e]/(e^2 + e0^2) f[e], {e, -\[Infinity], 0}, 
   Method -> {"DoubleExponentialOscillatory", 
     "SymbolicProcessing" -> 0},
   EvaluationMonitor :> Print["e=", e]] +
  NIntegrate[Exp[I t e]/(e^2 + e0^2) f[e], {e, 0, \[Infinity]}, 
   Method -> {"DoubleExponentialOscillatory", 
     "SymbolicProcessing" -> 0},
   EvaluationMonitor :> Print["e=", e]]

Результат:

In[18]:= Timing@g[10,1]
Out[18]= {78.0828, 0.0000704303 + 9.78009*10^-6 I}

In[338]:= Timing@g[1,1]
Out[338]= {14.3125,0.389542 +0.024758 I}

Я заставил Mathematica потратить ноль времени на символическую предварительную обработку подынтегральных функций, потому что в этом случае он не смог бы найти что-нибудь полезное об этом. Я также сказал ему специально использовать колебательный квадратурный метод для второго интеграла.

Моя догадка, почему случайно теребя стратегию интеграции (см NIntegrateIntegrationStrategies ) работает на все является то , что иногда Mathematica может случайно выбрать плохую стратегию автоматически, убивая производительность, в то время как все , что я спрашиваю это сделать, по крайней мере , немного содержательные , даже если неоптимальный. Вы также можете рассмотреть возможность получения помощи по адресу /mathematica/ , они могут узнать больше о внутренностях Mathematica.

— Кирилл
источник

k_{4}

$k_4$

- \infty

$-\infty$

\infty

$\infty$

0

$0$

\infty

$\infty$ g[t,e0]

f

$f$

E

$E$

p_{1}

$p_1$

p_{2}

$p_2$

E \leftrightarrow - E

$E\leftrightarrow -E$

k_{4}

$k_4$

2 \times

$2\times$

(0, \infty)

$(0,\infty)$

p_{1} \leftrightarrow p_{2}

$p_1\leftrightarrow p_2$

E

$E$

p_{1, 2}

$p_{1,2}$

k_{4}

$k_4$

@ArturodonJuan Я думаю, что это не имеет никакого значения, как работает ответ, только цифры будут меняться.

— Кирилл