Разложение по собственным значениям суммы: A (симметрично) + D (диагональ)

Предположим, что - вещественная симметрическая матрица и дано ее разложение по собственным значениямЛегко видеть, что происходит с собственными значениями суммы где - скалярная постоянная (см. Этот вопрос ). Можем ли мы сделать какой-либо вывод в общем случае где - произвольная диагональная матрица? Спасибо. $A$ $V \Lambda V^T$ $A + cI$ $c$ $A + D$ $D$

С Уважением,

Иван

linear-algebra

— Иван
источник

Вы можете получить более точные ответы, если укажете, какие выводы вам интересны.

— Дэвид Кетчон

@DavidKetcheson, да, ты абсолютно прав. На самом деле я пытаюсь найти эффективный способ вычисления последовательности матричных экспонент вида где фиксировано, а - диагональные матрицы. Я надеялся выполнить разложение по собственным значениям только один раз, а затем каким-то образом использовать его, чтобы учесть поправку, введенную диагональными матрицами. К сожалению, и вообще не коммутируют, поэтому . Я был бы признателен, если бы вы могли поделиться какими-либо идеями по этому поводу. Спасибо.

e^{A + D_{i}}

$e^{A + D_i}$

A

$A$

D_{i}

$D_i$

A

$A$

A

$A$

D_{i}

$D_i$

e^{A + D_{i}} \neq e^{A} e^{D_{i}}

$e^{A + D_i} \neq e^A e^{D_i}$

— Иван

Это связано с scicomp.stackexchange.com/questions/503/…

— Джеффри Ирвинг

Ответы:

Можно сказать очень мало, для общностей , таких как , что собственные значения изменяются непрерывно с записей , за исключением . $D$

Вы можете увидеть символические вычисления в случае 2 на 2, что ничего сильного ожидать не приходится.

— Арнольд Ноймайер
источник

Спасибо за ответ, я знал, что услышу что-то подобное. Могу ли я попросить вас взглянуть на мой комментарий выше.

— Иван

сложность вычисления экспоненциальной матрицы и сложности спектральной факторизации примерно одинакова. Так что нет, простого решения не существует. Однако, что вы можете сделать, если ваши диагональные матрицы лежат в подпространстве lowD, чтобы вычислить релевантную часть экспоненты (или, на самом деле, все, что вы хотите из нее вычислить) для ряда конкретных вариантов, хорошо распределенных в вашем пространстве желаемых значений, а затем использовать алгоритм интерполяции, чтобы приблизить все остальные.

— Арнольд Ноймайер

Да, я знаю, что спектральные разложения недешевы, я имел в виду, что если такое разложение необходимо было выполнить только один раз для (после этого будет просто ) и все показатели с могут быть каким-то образом получены из этого единственного разложения, тогда было бы разумно использовать его. В противном случае я вполне уверен, что это пустая трата времени. Спасибо за предложение об интерполяции, мне нужно немного прочитать об этом.

A

$A$

e^{A}

$e^A$

V e^{Λ} V^{T}

$V e^\Lambda V^T$

A + D_{i}

$A + D_i$

— Иван

Я хотел сказать, что если есть более дешевый способ вычисления экспоненты при изменении , то также будет один для задачи на собственные значения. Но нет ни одного.

D

$D$

— Арнольд Ноймайер

Ming Gu и Stanley C. Eisenstat изучали эту проблему раньше, см. Ссылку: http://www.cs.yale.edu/publications/techreports/tr916.pdf

Эта статья решает проблему перестановки ранга один, которая не может решить эту проблему здесь. Если кто-то сталкивается с проблемой перестановки ранга один, это помогает.

— skyuuka
источник

Добавление диагональной матрицы не является поправкой первого ранга, поэтому я не уверен, как эта статья поможет в этом случае.

— Кристиан Клэйсон

@ChristianClason: Верно! Я просто понимаю это. Спасибо за указание на это!

— скаюука