Таз притяжения для метода Ньютона

9

Известно, что метод Ньютона для решения нелинейных уравнений сходится квадратично, когда начальное предположение «достаточно близко» к решению.

Что такое "достаточно близко"?

Есть ли литература о структуре этого бассейна притяжения?

iterative-method convergence nonlinear-equations

— Дэвид Кетчесон
источник

Корень должен быть изолированным (не кратным). Если гессиан является равномерно определенным (вогнутым вверх или вниз) в регионе, вам следует идти вперед. Конечно, гарантировать или проверять эти условия эмпирически, как правило, нецелесообразно.

— суровый

Я видел вопрос в NA-Digest на днях и подумал, что это интригует. Видимо, я был не единственным :-)

— Вольфганг Бангерт

8

Для одного рационального уравнения в комплексной области бассейн притяжения - это фрактал, совокупность так называемого множества Юлии. http://en.wikipedia.org/wiki/Julia_set . Для теории с некоторыми хорошими онлайн-фигурами, см., Например,
http://mathlab.mathlab.sunysb.edu/~scott/Papers/Newton/Published.pdf
http://hera.ugr.es/doi/15019160.pdf

Даже «глобализированный» затухающий метод Ньютона для имеет фрактальную область притяжения; см. http://www.jstor.org/stable/10.2307/2653002 . $x^3-1=0$

Таким образом, нет смысла подробно указывать, что является «достаточно близким» к решению. Если известны оценки для вторых производных, существует теорема Ньютона - Канторовича, которая дает нижние оценки радиуса шара, в котором сходится метод Ньютона, но, за исключением 1D, они имеют тенденцию быть весьма пессимистичными.

Полезные в вычислительном отношении оценки могут быть получены с использованием интервальной арифметики; см., например, мою работу
Shen Zuhe и A. Neumaier, оператор Кравчика и теорема Канторовича, J. Math. Анальный. Appl. 149 (1990), 437-443.
http://www.mat.univie.ac.at/~neum/scan/61.pdf

— Арнольд Ноймайер
источник

Только в комплексной плоскости

имеет фрактальный бассейн притяжения. На действительной линии подойдет любая начальная догадка

(как только

сходимость будет монотонно убывающей и быстро появится квадратичная скорость).

x^{3} - 1 = 0

$x^3 - 1 = 0$

x > 0

$x > 0$

x > 1

$x > 1$

— hardthth

1

@hardmath: да, но сложное уравнение превращается в два действительных уравнения с двумя переменными, для которых применяется то же самое.

— Арнольд Ноймайер

4

«Достаточно близко» трудно охарактеризовать, учитывая, что оно порождает класс фракталов . Методы Ньютона со стратегиями глобализации, такими как поиск линий и область доверия, расширяют область притяжения. Если доступна дополнительная структура проблемы, например, при оптимизации, допущения, необходимые для сходимости, могут быть дополнительно ослаблены.

— Джед браун
источник

Просто для любопытства, есть ли у вас пример для «Если доступна дополнительная структура проблемы, например, при оптимизации, допущения, необходимые для сходимости, могут быть еще более ослаблены»?

— vanCompute

@vanCompute В этом примере показан пример, связанный с оптимизацией, где функционал объекта предоставляет информацию, которая теряется в условиях оптимальности первого порядка. Другой формой было бы знание того, что определенное продолжение (псевдопереходное, параметрическое, сеточное и т. Д.) Всегда сходятся, но остаточное число, возможно, придется увеличить до достижения решения, если кто-то пытается решить проблему напрямую.

— Джед Браун

3

Есть несколько полезных результатов для метода Ньютона, примененного к сложным полиномам.

$f$

р знак равно \frac{η}{2 d}

$r=\frac{\eta}{2d}$

η

$\eta$

f

$f$

d

$d$

f

$f$

Другие явные оценки даны Энтони Мэннингом в статье Как быть уверенным в нахождении корня комплексного полинома с использованием метода Ньютона (теорема 1.2).

См. Также Как найти все корни комплексных полиномов по методу Ньютона Хаббарда и соавт.
Придумайте. Математика 146 (2001), нет. 1, 1–33. PDF

— LHF
источник

Адаптировано с сайта math.stackexchange.com/a/1038487/589 .

— LHF