Решая огромную плотную линейную систему?

Есть ли надежда на эффективное решение следующей линейной системы итерационным методом?

$A \in \mathbb{R}^{n \times n}, x \in \mathbb{R}^n, b \in \mathbb{R}^n \text{, with } n > 10^6$

$Ax=b$

с участием

$A=(\Delta - K)$ , где - очень разреженная матрица с несколькими диагоналями, возникающая в результате дискретизации оператора Лапласа. На его главной диагонали и есть еще диагоналей с на нем.- 6 6 $\Delta$$-6$$6$$1$

$K$ является полной матрицей которая полностью состоит из единиц.$\mathbb{R}^{n \times n}$

Решение отлично работает с итерационными методами, такими как Gauss-Seidel, потому что это разреженная диагонально доминирующая матрица. Я подозреваю, что проблему практически невозможно эффективно решить для больших чисел , но есть ли способ ее решить, используя структуру ?A = ( Δ - K ) n $A=\Delta$$A=(\Delta - K)$$n$$K$

РЕДАКТИРОВАТЬ: будет делать что-то вроде

$\Delta x^{k+1} = b + Kx^{k}$ // решить для с помощью Гаусса-Зайделя$x^{k+1}$

дойти до правильного решения? Я читал, что такой метод расщепления сходится, если , где - спектральная норма. Я вручную вычислил собственные значения для некоторых разных небольших значений и все они равны нулю, кроме значения, которое имеет довольно высокое отрицательное значение. (около ~ 500 для ) Так что я думаю, это не сработает.ρ Δ - 1 K n n = $\rho(\Delta^{-1} K) < 1$$\rho$$\Delta^{-1} K$$n$$n=256$

РЕДАКТИРОВАТЬ: Больше информации о$\Delta$ :

$\Delta \in \mathbb{R}^{n \times n}$ является симметричным, отрицательно определенным и диагонально доминирующим.

Это сделано следующим образом в Matlab

n=W*H*D;

e=ones(W*H*D,1);

d=[e,e,e,-6*e,e,e,e];

delta=spdiags(d, [-W*H, -W, -1, 0, 1, W, W*H], n, n);

Есть два варианта, которые, если вы используете разумные структуры данных, могут решить проблему с на ноутбуке и n ≈ 10 12 на суперкомпьютере. Обратите внимание, что для эффективности вы должны использовать multigrid для решения с Δ . Стоимость в любом случае будет небольшим фактором дороже, чем просто решение с Δ . Два подхода эквивалентны через аргумент дополнения Шура, но я опишу их отдельно, потому что реализация отличается.$n>10^6$$n \approx 10^{12}$$\Delta$$\Delta$

• Используйте граничную систему

$$\newcommand\ee{\mathbf{e}} M = \begin{pmatrix} \Delta & \ee \\ \ee^T & 1 \end{pmatrix}$$

где - вектор-столбец, состоящий из всех единиц и решающий систему$\ee$

$$M \begin{pmatrix} \mathbf{x} \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf{b} \\ 0 \end{pmatrix}$$

используя итеративный или прямой решатель.

• Используйте метод Крылова и примените матрицу как Δ - e e T (т. Е. Разреженную матрицу плюс поправку на ранг-1. Используйте существующий предварительный кондиционер P - 1 ≈ Δ - 1 или, особенно, если вы хотите использовать прямое решение с Δ обновите его формулой Шермана-Моррисона .$A$$\Delta - \ee \ee^T$$P^{-1} \approx \Delta^{-1}$$\Delta$