Численно устойчивый способ вычисления углов между векторами

При применении классической формулы для угла между двумя векторами:

α = \arccos \frac{v_{1} \cdot v_{2}}{‖ v_{1} ‖ ‖ v_{2} ‖}

$\alpha = \arccos \frac{\mathbf{v_1} \cdot \mathbf{v_2}}{\|\mathbf{v_1}\| \|\mathbf{v_2}\|}$

обнаруживается, что при очень малых / острых углах наблюдается потеря точности, и результат не является точным. Как объясняется в ответе на переполнение стека , одно из решений - использовать вместо этого арктангенс:

α = \arctan 2 (‖ v_{1} \times v_{2} ‖, v_{1} \cdot v_{2})

$\alpha = \arctan2 \left(\|\mathbf{v_1} \times \mathbf{v_2}\|, \mathbf{v_1} \cdot \mathbf{v_2} \right)$

И это действительно дает лучшие результаты. Тем не менее, мне интересно, даст ли это плохие результаты для углов, очень близких к $\pi / 2$ . Это так? Если да, то есть ли какая-нибудь формула для точного вычисления углов без проверки допуска внутри ifветви?

algorithms precision numerical-limitations

— astrojuanlu
источник

Это будет зависеть от реализации двухпараметрической обратной касательной функции. Медленные, стабильные версии условно переключаются между работой с x / y и y / x для поддержания точности, в то время как быстрые версии просто вставляют вещи в правильный квадрант и, следовательно, не более точны, чем версия с одним параметром.

— origimbo

Вы должны определить «потерю точности»: предположим, что правильный ответ

α

$\alpha$ а вместо него вы получите

α + Δ

$\alpha + \Delta$ . Вам нужен

Δ ≪ α

$\Delta \ll \alpha$ или достаточно

Δ ≪ π

$\Delta \ll \pi$ ?

— Стефано М

В этом случае правильный ответ был и я получил , оба .

α

$\alpha$

α \cdot 10^{8}

$\alpha \cdot 10^8$

≪ 1

$\ll 1$

— astrojuanlu

Ответы:

( Я проверял этот подход раньше, и я помню, что он работал правильно, но я не проверял его специально для этого вопроса. )

Насколько я могу судить, оба и может пострадать от катастрофической отмены, если они почти параллельны / перпендикулярны - atan2 не может дать вам хорошую точность, если любой из входов отключен. $\|\mathbf{v}_1\times \mathbf{v}_2\|$ $\mathbf{v}_1\cdot \mathbf{v}_2$

Начните с переформулировки задачи как нахождения угла треугольника с длинами сторон,и(все они точно рассчитаны в арифметике с плавающей запятой). Существует хорошо известный вариант формулы Герона из-за Кахана ( Miscalculation Area and Angles of Needle-подобные треугольники ), который позволяет вычислять площадь и угол (между и ) треугольника, заданного длиной его стороны, и делать это численно стабильно. Поскольку приведение к этой подзадаче также является точным, этот подход должен работать для произвольных входных данных. $a=|\mathbf{v}_1|$ $b=|\mathbf{v}_2|$ $c=|\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2|$ $a$ $b$

Цитирование из этой статьи (см. Стр.3), предполагая, что , Все круглые скобки здесь размещены аккуратно, и они имеют значение; если вы обнаружите, что берете квадратный корень из отрицательного числа, длина входной стороны не равна длине стороны треугольника. $a\geq b$

μ = {\begin{cases} c - (a - b), & if b \geq c \geq 0, \\ b - (a - c), & if c > b \geq 0, \\ invalid triangle, & otherwise \end{cases}

$\mu = \begin{cases} c-(a-b),&\text{if }b\geq c\geq 0,\\ b-(a-c),&\text{if }c>b\geq 0,\\ \text{invalid triangle},&\text{otherwise} \end{cases}$

a n g l e = 2 \arctan (\sqrt{\frac{((a - b) + c) μ}{(a + (b + c)) ((a - c) + b)}})

$\mathrm{angle} = 2\arctan\left( \sqrt{\frac{((a-b)+c)\mu}{(a+(b+c))((a-c)+b)}} \right)$

Существует объяснение того, как это работает, включая примеры значений, для которых другие формулы не работают, в статье Кахана. Ваша первая формула для - это на странице 4. $\alpha$ $C''$

Основная причина, по которой я предлагаю формулу Керона Кахана, состоит в том, что она делает очень хороший примитив - множество потенциально хитрых вопросов плоской геометрии может быть сведено к нахождению площади / угла произвольного треугольника, так что если вы можете свести свою проблему к этому, хорошая стабильная формула для этого, и нет необходимости придумывать что-то самостоятельно.

Редактировать После комментария Стефано я сделал график относительной ошибки для , ( код ). Две линии - это относительные ошибки для и , идущих вдоль горизонтальной оси. Кажется, это работает. $v_1=(1,0)$ $v_2=(\cos\theta, \sin\theta)$ $\theta=\epsilon$ $\theta=\pi/2-\epsilon$ $\epsilon$

— Кирилл
источник

Спасибо за ссылку и ответ! К сожалению, вторая формула, которую я написал, не появляется в статье. С другой стороны, этот метод может быть немного сложным, так как требует проекции в 2D.

— astrojuanlu

@astrojuanlu Здесь нет проекции на 2d: какими бы ни были эти два 3d-вектора, они определяют один (плоский) треугольник между ними - вам нужно знать только длину его сторон.

— Кирилл

Вы правы, мой комментарий не имеет смысла. Я думал в координатах, а не в длине. Еще раз спасибо!

— astrojuanlu

@astrojuanlu Еще одна вещь, которую я хочу отметить: кажется, что есть формальное доказательство того, что формула площади точна в разделе Как вычислить площадь треугольника: формальное пересмотр , Сильви Болдо , с использованием Flocq.

— Кирилл

Отличный ответ, но я спорю, что вы всегда можете точно вычислить в арифметике плавающей запятой. Фактически, если то при вычислении компонентов происходят катастрофические сокращения .

c

$c$

c < ϵ \cdot min (a, b)

$c < \epsilon \cdot \min(a,b)$

(v_{1} - v_{2})

$(\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2)$

— Стефано М

Эффективный ответ на этот вопрос, что неудивительно, в другой заметке Велвела Кахана :

α = 2 \arctan (‖ \frac{v_{1}}{‖ v_{1} ‖} + \frac{v_{2}}{‖ v_{2} ‖} ‖, ‖ \frac{v_{1}}{‖ v_{1} ‖} - \frac{v_{2}}{‖ v_{2} ‖} ‖)

$\alpha=2\arctan\left(\left\|\frac{\mathbf v_1}{\|\mathbf v_1\|}+\frac{\mathbf v_2}{\|\mathbf v_2\|}\right\|,\left\|\frac{\mathbf v_1}{\|\mathbf v_1\|}-\frac{\mathbf v_2}{\|\mathbf v_2\|}\right\|\right)$

где я использую в качестве угла с горизонтальной осью. (Возможно, вам придется изменить порядок аргументов в некоторых языках.) $\arctan(x,y)$ $(x,y)$

(Я дал Mathematica демонстрацию формулы Кахана здесь .)

— JM
источник

Вы имеете в виду ?

\arctan 2

$\arctan2$

— astrojuanlu

Я привык изображать арктангенс с двумя аргументами как , да. На таком языке, как FORTRAN, эквивалент будет .

\arctan (x, y)

$\arctan(x,y)$ ATAN2(Y, X)

— JM