Обычно используемые метрики для количественной оценки нерегулярности треугольной сетки

Скажем, у вас есть треугольная сетка на плоской плоскости. Это было сделано, чтобы в конечном итоге решить некоторые проблемы, например, в механике.

Сетка равносторонних треугольников является наилучшей, поскольку расстояния между вершинами и центроидами одинаковы во всем. Это делает интерполяцию и расчет градиентов легкой и точной задачей. Однако из-за ограничений и обстоятельств не всегда возможно работать над сеткой из всех равносторонних треугольников.

Итак, вопросы касаются сетки треугольных элементов произвольной формы.

Относительно отдельных элементов сетки . Какие показатели обычно используются для количественной оценки отличия одного общего треугольника от некоторой базовой идеальной равносторонней формы?

По поводу всей сетки . Какие метрики используются для определения нерегулярности сетки произвольных треугольников в целом? Эти метрики должны указывать, как скремблируется сетка.

Спасибо, что подумали.

Примечание. Весь вклад сообщества конечных элементов получил высокую оценку. Для этого вопроса, пожалуйста, обратите внимание, что интерес состоит в том, чтобы количественно оценить различия только в геометрии (произвольные и равносторонние треугольники). Последующее влияние на ошибки интерполяции и согласования выходит за рамки. Конечно, они могут быть проницательными и актуальными, они усложняют математическую обработку.

mesh-generation mesh geometry

— XavierStuvw
источник

Вы проверили этот вопрос ? И из этого поста: «Что такое хороший конечный элемент?».

— Никогуаро

Я думаю, что соотношение площадей / радиусов между окружностью и окружностью может работать. Соотношение собственных значений якобиана, минимума и максимума также.

— Никогуаро

В одной из самых известных работ Шевчука эта тема подробно освещена: что такое хороший линейный конечный элемент?

— Павел

@nicoguaro Спасибо. Я не особенно заинтересован в FEM, но в количественной оценке различий в форме элементов. Не могли бы вы уточнить, например, отношения радиусов? Это зависит от размера? Другими словами, будет полезно, если вы сможете указать свои варианты в ответе, чтобы кто-то еще мог их использовать.

— XavierStuvw

Вы также можете посмотреть на минимальный угол в любом из элементов сетки. Идея состоит в том, что это хочет быть как можно большим

— KyleW

Ответы:

Как сказали @Nicoguaro и @Paul в комментариях к посту с вопросом, существует множество способов сделать подобные вещи, и я не уверен, что существует единый «лучший» подход.

Из обзорного исследования Джонатана Ричарда Шевчука в Беркли ответ таков :

Пожалуйста, обратитесь к исходному документу (версия 31/12/2002) для символов, терминологии, специальных функций и, возможно, больше (например, тетраэдры). Глава 6 о мерах качества. Ссылка на документ является расширенной версией, а на веб-странице JRS также есть сокращенная версия.

Лично я фанат метрики "объем-длина". Это хороший надежный скалярный показатель (изотропного) симплекс-качества, и он дешев в вычислениях. В двух измерениях:

$a = \frac{4\sqrt{3}}{3}\frac{A}{\|\mathbf{e}_{\mathrm{rms}}\|^{_2}}$

где - площадь со знаком треугольника исреднеквадратичная длина ребра. Идеальные элементы достигают , который уменьшается к нулю с увеличением искажения. Инвертированные элементы с обратной ориентацией имеют . $A$ $\|\mathbf{e}_{\mathrm{rms}}\|$ $a=1$ $a < 0$

Чтобы оценить качество неструктурированной триангуляции, типично смотреть на гистограммы таких метрик качества элемента. Существует множество реализаций таких вещей, но одна MATLABмоя прямая база кода здесь .

В дополнение к показателям длины по объему гистограммы углов элементов и степени вершин также вычисляются по умолчанию.

— Даррен Энгвирда
источник

Почему вы поклонник этой метрики? Хорошо ли было предсказывать точность моделирования, которое вы провели с сетками?

— BrunoLevy

@BrunoLevy: Ну, как простой выбор «по умолчанию» для симплексов: он надежно обобщает до больших измерений, дешев в вычислениях, хорошо численно обусловлен, обеспечивает «запутанный» индикатор re. ориентация, и является простым "только для геометрии" индикатором, согласно вопросу. Это хороший показатель качества моделирования? Ну, это зависит от того, что вы делаете! Если вы заинтересованы в изотропных сетках, я бы сказал, да. Сильно зависящие от направления анизотропные конфигурации, то нет, не напрямую, хотя в таких случаях его еще можно использовать после подходящего преобразования координат.

— Даррен Энгвирда

Также является гладким, так что вы можете запустить его с неявной произвольной лагранжево-эйлеровой формулировкой. С небольшим усилием вы можете обобщить его на анизотропные сетки.

— likask

@likask: Да, хороший момент - это может быть хорошей функцией стоимости для сглаживания и оптимизации сетки.

— Даррен Энгвирда

Я добавил отрывок из работы Шьюка, который расширяет сферу ответа Даррена. Это обобщает несколько комментариев тоже. Спасибо всем авторам этого поста.

— XavierStuvw

Я не думаю , что существует ответ на этот вопрос в целом , потому что все это зависит от предполагаемого использования сетки. Например, если вы выполняете вычислительную динамику жидкости, вы можете захотеть иметь сетку, которая является чрезвычайно анизотропной вблизи пограничного слоя. Теперь, если вы занимаетесь вычислительной электромагнетизмом, лучшая сетка, вероятно, будет совершенно другой.

В литературе существует много разных определений критерия качества сетки. Большинство из них предпочитают сетки с треугольниками, которые являются максимально равносторонними. Можно также упомянуть идею максимизации наименьшего угла (который реализуется триангуляцией Делоне для фиксированного набора точек). Это оправдано анализом Джонатана Шевчука, упомянутым в одном из комментариев, который связывает этот угол с номером условия матрицы жесткости для уравнения Лапласа, дискретизированного с элементами P1, но, опять же, в зависимости от предполагаемого использования, чья-то хорошая сетка может быть кем-то еще плохая сетка.

Я не думаю, что имеет смысл «количественно определять различия в геометрии (произвольные и равносторонние треугольники)»: прежде чем измерять, равны ли треугольники равносторонним и решить, какое «отклонение от равносторонности» является наилучшим, необходимо выяснить, нужны ли нам «равносторонние треугольники», и это не всегда так! Все это происходит из "интерполяции и обусловленности", о которой вы упоминаете. Да, как вы сказали «это усложняет математическую обработку», но без этого невозможно провести различие между объективными критериями для данного приложения и критериями, которые вообще не имеют смысла.

— BrunoLevy
источник