Немонотонная сходимость в задаче с фиксированной точкой

Фон

Я решаю вариант уравнения Орнштейна-Цернике из теории жидкости. Абстрактно, задачу можно представить как решение задачи с неподвижной точкой , где A - интегроалгебраический оператор, а c ( r ) - функция решения (функция прямой корреляции OZ). Я решаю с помощью итерации Пикара, где я даю исходное пробное решение c 0 ( r ) и генерирую новые пробные решения по схеме c j + 1 = α $A c(r)=c(r)$$A$$c(r)$$c_0(r)$ где α - это настраиваемый параметр, который управляет сочетанием c и A c, используемым в следующем пробном решении. Для этого обсуждения предположим, что значение α неважно. Повторяюпока итерации сходится с точностью до желаемой толерантности, ε : Δ J + 1 ≡ ∫ d → г | c j + 1 ( r ) -

$$c_{j+1} = \alpha (A c_j) + (1-\alpha)c_j~,$$ $\alpha$$c$$Ac$$\alpha$$\epsilon$ В моем варианте задачи A зависит от параметра λ , и мой вопрос заключается в том, как сходимость A c = c зависит от этого параметра. $$\Delta_{j+1} \equiv \int d\vec r |c_{j+1}(r)-c_j(r)| < \epsilon~.$$ $A$$\lambda$$Ac=c$

Для широкого диапазона значений приведенная выше схема итерации экспоненциально быстро сходится. Однако, когда я уменьшаю λ , я в конечном итоге достигаю режима, при котором сходимость немонотонна, как показано ниже. $\lambda$$\lambda$

Ключевые вопросы

Имеет ли немонотонная сходимость в итерационных решениях задач с фиксированной точкой какое-либо особое значение? Означает ли это, что моя итерационная схема находится на грани нестабильности? Самое главное , должна ли немонотонная конвергенция вызывать у меня подозрение, что «конвергентное» решение не является хорошим решением проблемы с фиксированной точкой?

$x$$x=f(x)$$x^*$$\frac{\partial f}{\partial x}(x^*) \le \alpha$$\alpha$$<1$$x^*$

1. $\lambda$

2. Если ваше решение сошлось в рамках правильно установленного относительного допуска, который также учитывает небольшие числа, то оно имеет.