Есть ли числовой алгоритм для нахождения асимптотического наклона?

У меня есть ряд точек данных которые, как я ожидаю, (приблизительно) будут следовать функции которая асимптотически пересекается с линией при большом . По существу, приближается к нулю при , и то же самое, вероятно, можно сказать обо всех производных , и т. д. Но я не знаю, что такое функциональная форма для f (x) , если она даже имеет форму, которую можно описать в терминах элементарных функций.$(x_i,y_i)$$y(x)$$x$$f(x) \equiv y(x) - (ax + b)$$x \to \infty$$f'(x)$f ( x $f''(x)$$f(x)$

Моя цель - получить максимально возможную оценку асимптотического наклона $a$ . Очевидный грубый метод состоит в том, чтобы выбрать последние несколько точек данных и выполнить линейную регрессию, но, конечно, это будет неточным, если $f(x)$ не станет «достаточно плоским» в диапазоне $x$ для которого у меня есть данные. Очевидный менее грубый метод состоит в том, чтобы предположить, что $f(x) \approx \exp(-x)$ (или некоторая другая конкретная функциональная форма) и подходит для этого, используя все данные, но простые функции, которые я пробовал как $\exp(-x)$ или $\dfrac1{x}$ не совсем совпадают с данными в нижнем $x$ где $f(x)$большой. Существует ли известный алгоритм определения асимптотического наклона, который мог бы работать лучше или который мог бы обеспечить значение для наклона вместе с доверительным интервалом, учитывая мое отсутствие знаний о том, как данные приближаются к асимптоте?

Подобные задачи часто возникают в моей работе с различными наборами данных, поэтому я в основном заинтересован в общих решениях, но по запросу я связываюсь с конкретным набором данных, который вызвал этот вопрос. Как описано в комментариях, алгоритм Wynn $\epsilon$ дает значение, которое, насколько я могу судить, несколько не соответствует. Вот сюжет:

(Похоже, что при высоких значениях x наблюдается небольшая нисходящая кривая, но теоретическая модель для этих данных предсказывает, что она должна быть асимптотически линейной.)

Это довольно грубый алгоритм, но я бы использовал следующую процедуру для грубой оценки: если, как вы говорите, предполагаемое которое представляет ваш , уже почти линейно при увеличении , то я Для этого нужно взять различия , а затем использовать алгоритм экстраполяции, такой как преобразование Шенкса, для оценки предела различий. Мы надеемся, что результатом будет хорошая оценка этого асимптотического наклона.( x i , y i ) x y i + 1 - y $f(x)$$(x_i,y_i)$$x$$\dfrac{y_{i+1}-y_i}{x_{i+1}-x_i}$

Далее следует демонстрация Mathematica . Алгоритм Wynn - это удобная реализация преобразования Шенкса, и он встроен как (скрытая) функция . Опробуем процедуру на функции$\epsilon$SequenceLimit[]

xdata = RandomReal[{20, 40}, 25];
ydata = Table[(3 + 13*E^(4*x) + 6*E^(4*x)*x + x^2 + 3*E^(4*x)*x^2 + 
      2*E^(4*x)*x^3)/(E^(4*x)*(3 + x^2)), {x, xdata}];

SequenceLimit[Differences[ydata]/Differences[xdata],
              Method -> {"WynnEpsilon", Degree -> 2}]
1.999998

Я мог бы также показать, насколько простой алгоритм:

wynnEpsilon[seq_?VectorQ] := 
 Module[{n = Length[seq], ep, res, v, w}, res = {};
  Do[ep[k] = seq[[k]];
   w = 0;
   Do[v = w; w = ep[j];
    ep[j] = 
     v + (If[Abs[ep[j + 1] - w] > 10^-(Precision[w]), ep[j + 1] - w, 
         10^-(Precision[w])])^-1;, {j, k - 1, 1, -1}];
   res = {res, ep[If[OddQ[k], 1, 2]]};, {k, n}];
  Flatten[res]]

Last[wynnEpsilon[Differences[ydata]/Differences[xdata]]]
1.99966

Эта реализация адаптирована из статьи Венигера .