Использование карт степенных рядов

Я из области физики ускорителей, в частности, связанных с кольцевыми накопителямидля синхротронных источников света. Электроны высокой энергии циркулируют вокруг кольца, руководствуясь магнитными полями. Электроны циркулируют миллиарды раз, и каждый хочет предсказать стабильность. Вы можете описать движение электронов в одной точке кольца в терминах фазового пространства (положение, импульсное пространство). Каждый поворот вокруг кольца, частица возвращается к новой позиции и импульсу, и это определяет карту в фазовом пространстве, называемую «однооборотная карта». Можно предположить, что в начале координат есть фиксированная точка, и поэтому ее можно разложить в степенной ряд. Таким образом, хочется знать об устойчивости итерационных карт степенных рядов. Есть много сложных вопросов по этому поводу, и тема имеет давнюю историю. Было реализовано множество библиотек - для реализации так называемой усеченной алгебры силовых рядов. (См. Напримерэта статья о Я. Я. Я. Больше знаний по физике и один подход к анализу - это подход с нормальной формой, например, Bazzani et. и др. здесь .) Вопрос в том, как использовать такую библиотеку и как решить проблему стабильности. Основным подходом, используемым в динамике пучка, был анализ нормальной формы, который, я не думаю, был успешным. Интересно, были ли разработаны какие-то спектральные методы в других областях (возможно, что-то вроде этого??). Может ли кто-нибудь придумать другую область, в которой анализируется долгосрочная стабильность итеративных карт степенных рядов с фиксированной точкой в начале координат, чтобы мы могли поделиться знаниями или получить свежие идеи? Один пример, который я знаю, - это работа Фишмана и «Режимов ускорения» в атомной физике. Есть ли другие? Какие другие системы могут быть смоделированы как ударный ротор или карта Хенона?

algorithms polynomials

— Боаз
источник

Я думаю, что было бы полезно немного рассказать о вашей терминологии. Например, я знаком со всеми математическими понятиями, которые вы упомянули, но я не совсем представляю, что вы имеете в виду в этом контексте под «картой фазового пространства». Я уверен, что в вашей конкретной области это не требует объяснений, но люди других специальностей могут понять, что они действительно знают, как помочь вам, если вы сделаете немного больше объяснений, что вы имеете в виду.

— Колин К

На самом деле это хороший момент: так как, предположительно, этот сайт будет собирать людей из разных научных дисциплин, будет особенно важно определить термины, специфичные для данной области (или, по крайней мере, ссылку на объяснения).

— Дэвид Z

Договорились, Коллин и Дэвид. Спасибо за комментарии. Фазовое пространство является пространственно-импульсным пространством. Подумайте об одной позиции в кольце, и электрон имеет поперечную позицию и импульс (скорость). После того, как он обойдет кольцо один раз, у него будет новое положение и скорость. Так называется карта одного поворота. Если бы он был линейным, он был бы похож на гармонический осциллятор, который отслеживает эллипс в фазовом пространстве. Для случая, когда круговая карта имеет вид x_1 = cos (theta) x_0 + sin (theta) p_0 и p_1 = -sin (theta) x_0 + cos (theta) p_0. Это проясняет?

— Боаз

Я добавил несколько ссылок на литературу по физике и вычислениям пучка и добавил краткое определение фазового пространства.

— Боаз

Кстати, я задал похожий вопрос о стеке, математике, здесь . Там я спрашивал о решениях вопроса стабильности с математической точки зрения. Здесь мне было интересно, существует ли та же проблема в других научных предметах, поскольку она кажется несколько общей, но она не была связана со значительной частью вне динамики пучка. Одна область, о которой я знаю, - это ускорительные моды в атомной физике. Есть ли другие?

— Боаз

Ответы:

Вы, наверное, уже знаете это, но это звучит как нечто из мира теории хаоса и фракталов? (следовательно, это вычислительно "сложно")

На ваш вопрос, вы смотрели на мир планетарной механики и проблем с N-телом? Они также вынуждены использовать итеративные решения, и фундаментальной базовой физикой является N ^ 2, хотя источникам силы, как правило, также разрешается перемещаться - просто чтобы еще больше усложнить ситуацию.

Прошло много времени с тех пор, как я на них смотрел, но ваше упоминание о фазовых картах стабильности очень похоже на Henon Maps. Я уверен, что они должны иметь более широкое применение, но они обычно описываются в терминах стабильности планет (например, стабильность второй луны в системе планета-луна).

— winwaed
источник

Да, карта Хенона - это именно то, что мы имеем в динамике пучка ускорителя. Проблема с аналогией с проблемой N-тела состоит в том, что пространство там намного больше. «Фазовое пространство» имеет размерность 6xN, в то время как для отдельной частицы в накопительном кольце оно является просто 6-мерным в общем случае. Мне любопытно, какие другие домены заканчиваются чем-то вроде карты Хенона для моделирования динамики. По пути теории хаоса я подумал и о теории динамики населения. Спасибо за ответ.

— Боаз

Вы можете посмотреть на асимптотическое поведение дискретных динамических систем . По этой теме имеется как богатая теоретическая литература по математике, так и более прикладная литература по физике и информатике.

— MRocklin
источник

Спасибо, Мроклин. Я немного посмотрел на общую литературу и не нашел решения, или, может быть, оно было слишком математическим, и я не нашел ту же проблему, изложенную так, чтобы я мог ее понять.

— Боаз

Вот несколько вопросов из этой области: (1) Формируете ли вы орбиты - то есть, после нескольких итераций вы возвращаетесь в одно и то же место? (2) Чувствительна ли ваша система к небольшим возмущениям - т.е. если мы начнем состояние, немного отличающееся от вашего начального состояния, оно окажется в совершенно другом месте? (3) Некоторые виды возмущений действуют дико, в то время как другие являются ручными? Ответы на такие вопросы могут дать представление о свойствах вашей физической системы.

— MRocklin

(1) У начала координат динамика устойчива и образует замкнутые орбиты. Идя дальше, иногда можно найти другие острова стабильности. И затем, даже дальше, динамика неустойчива, то есть неограниченна. (2) Некоторые аспекты чувствительны, а некоторые нет. Стабильные орбиты не так чувствительны к любым возмущениям. (3) Возмущения обычно действуют периодически с некоторой частотой. Некоторые частоты вызывают резонансы, которые могут резко изменить динамику даже при небольших возмущениях. Но заранее знать, какие такие частоты опасны, не совсем понятно.

— Боаз

Возможно, было бы полезно изучить методы модели Тейлора; это , кажется, хороший обзор статьи. Попробуйте, если COSY Infinity может делать то, что вы хотите.

— Эрик П.
источник

Спасибо, Эрик. Да, я немного знаком с COSY Infinity. Статья, на которую вы ссылаетесь, выглядит полезной для обзора методов использования степенных рядов для вычисления различных функций, а также для определения границ ошибок и т. Д. Мой вопрос, однако, заключается в том, какие системы (кроме кольцевых накопителей) можно моделировать по степенным рядам и как решить для области стабильности. Я не думаю, что нормальные методы формы могут сделать это, например. Это была влиятельная тема в динамике пучка, но я не вижу, чтобы это решило проблему.

— Боаз