Полезность элементов с зависимостью от сетки

После некоторой математики, связанной со стабильностью элементов в трехмерной задаче Стокса, я был немного шокирован, когда понял, что не является устойчивым для произвольной тетраэдрической сетки. Точнее, если у вас есть элемент, в котором все узлы и три из четырех граней лежат на границе области с условием Дирихле, вы в конечном итоге получите особую матрицу. На самом деле это довольно тривиально, чтобы сделать вывод из слабой формы системы Стокса. $P_2-P_1$

Я протестировал единственный коммерческий код Стокса, к которому у меня есть доступ (COMSOL), и он позволил мне создать такую сетку. После нажатия кнопки «Решить» я получаю сообщение об ошибке «Ошибка: единичная матрица». (У меня сложилось впечатление, что COMSOL использует для своего модуля ползучего потока.) $P_2-P_1$

Для дальнейшего тестирования, что проблема не была связана с другими конфигурациями, я попробовал следующую сетку, и все работает как ожидалось.

Вопросы: Учитывается ли этот тип ограничений в (адаптивных или неадаптивных) генераторах сетки? Я вижу из различных исследовательских работ, что этот элемент кажется довольно популярным. Являются ли такого рода граничные нестабильности вообще игнорируемыми как незначительные при выборе метода для использования? Что еще более важно, что на самом деле означает иметь стабильный конечный элемент , т. Е. Какого рода сетчато-зависимые нестабильности слишком велики, чтобы мы пришли к выводу, что метод плох?

stability navier-stokes unstructured-mesh

— KNL
источник

Интересный вопрос! Насколько я вижу, эти элементы обычно являются результатом генерации структурированной тетраэдрической сетки на кубах и т. Д. И играют лишь незначительную роль в реальных приложениях, где у вас есть неструктурированные алгоритмы нодализации. Некоторое время назад я попробовал немного и не смог создать такую сетку с генератором сетки, производящим полностью неструктурированные сетки. Я подозреваю, что они используют механизм, чтобы избежать таких чрезмерно ограниченных элементов. У меня нет доступа к COMSOL, но я думаю, что для большинства решателей эти элементы не представляют существенной проблемы.

— Кристиан Валуга

Интересно, это тоже проблема с элементом MINI?

— Даниэль Шаперо

(\nabla \cdot v, p) = 0 \forall v \in V_{h} \Rightarrow p = global const.

$(\nabla\cdot v, p)=0~\forall v \in V_h \Rightarrow p =\text{global const.}$

p (x, y) = a + b x + c y

$p(x,y)=a+bx+cy$

v = (b ϕ, c ϕ)

$v=(b\phi,c\phi)$

ϕ

$\phi$

p

$p$

$p$ $p$

Сетчатые генераторы обычно имеют возможность справиться с этим, например, 2D сетки генератор bamgиз freefem++имеет -splitpbedgeвариант , который добавляет узел в середине любого ребра , имеющего оба конца на границе. Согласно bamgдокументации, генерация неструктурированной сетки может вернуть такие треугольники.

— Joce
источник

Вы уверены, что это относится, например, к Taylor-Hood в 2D Stokes? Моя интуиция подсказывает мне, что DOF, связанный с краем, спасает ситуацию там. В 3D Тейлор-Гуде нет DOF, связанных с фасетом, и, следовательно, возникает нестабильность.

— knl

Вы правы, это может быть так. Я думаю, что Verfuhrt доказательство условия inf-sup для Тейлора-Худа достаточно конструктивно, чтобы проверить это, но сейчас нет времени.

— Joce