Каковы различия между «априорной» и «апостериорной» оценкой ошибок в численном анализе?

Я узнал о методе конечных элементов (также немного о других численных методах), но я не знаю, каково именно определение этих двух ошибок и различий между ними?

finite-element numerical-analysis error-estimation

— Ань Ти ДИНХ
источник

Априорные (от латинского «от более ранних») оценки зависят только от точного, но не вычисленного приближенного решения, и, следовательно, могут быть (теоретически, если не на практике) оценены перед вычислением решения. И наоборот, апостериорные (от латинского «от более поздних») оценки зависят от вычисленного решения, но не от точного решения, поэтому они требуют вычисления решения, но могут фактически оцениваться на практике.

— Кристиан Клэйсон

@ChristianClason - сделай это ответом!

— Вольфганг Бангерт

Оценки погрешности обычно имеют вид где является точным решением вы заинтересованы в, является вычислено приближенным решением, является приближенным параметр , который можно контролировать, и является некоторой функцией (среди прочего). В методах конечных элементов является решением уравнения в частных производных, а будет решением конечных элементов для сетки с размером сетки

‖ u - u_{h} ‖ \leq C (h),

$\|u - u_h\| \leq C(h),$

u

$u$

u_{h}

$u_h$

h

$h$

C (h)

$C(h)$

h

$h$

u

$u$

u_{h}

$u_h$

h

$h$ , но у вас есть такая же структура в обратных задачах (с параметром регуляризации

вместо

) или итерационных методах для решения уравнений или задач оптимизации (с индексом итерации

- или, скорее,

- вместо

) , Смысл такой оценки является помочь ответить на вопрос : «Если я хочу , чтобы в пределах, скажем, из точного решения, как маленький я должен выбрать ?»

α

$\alpha$

h

$h$

k

$k$

1 / k

$1/k$

h

$h$ $10^{-3}$ $h$

Разница между априорными и апостериорными оценками заключается в форме правой части : $C(h)$

В априорных оценках правая часть зависит от (обычно явно) и , но не от . Например, типичная априорная оценка для конечно-элементного приближения уравнения Пуассона будет иметь вид с постоянной $h$ $u$ $u_h$ $-\Delta u = f$
$‖ u - u_{h} ‖_{L^{2}} \leq c h^{2} | u |_{H^{2}},$ $\|u-u_h\|_{L^2} \leq c h^2 |u|_{H^2},$ $c$ в зависимости от геометрии домена и сетки. В принципе, правая часть может быть оценена до вычисления (отсюда и название), поэтому вы сможете выбрать прежде чем что-либо решать. На практике ни ни известно ( является то , что вы ищете в первую очередь), но иногда вы можете получить оценки порядка или величины для тщательно проходя через доказательства и используя данные $u_h$ $h$ $c$ $|u|_{H^2}$ $u$ $c$ $|u|$ $f$ (что известно). Основное использование в качестве качественной оценки - оно говорит вам, что если вы хотите уменьшить ошибку в четыре раза, вам нужно вдвое сократить . $h$
$h$ $u_h$ $u$
$‖ u - u_{h} ‖_{L^{2}} \leq c h ‖ f + Δ u_{h} ‖_{H^{- 1}},$ $\|u-u_h\|_{L^2} \leq c h \|f+\Delta u_h\|_{H^{-1}},$ $u_h$ $H^{-1}$ $‖ u - u_{h} ‖_{L^{2}} \leq c (\sum_{K} h_{K}^{2} ‖ f + Δ u_{h} ‖_{L^{2} (K)} + \sum_{F} h_{K}^{3 / 2} ‖ j (\nabla u_{h}) ‖_{L^{2} (F)}),$ $\|u-u_h\|_{L^2} \leq c \left(\sum_{K} h_K^2 \|f+\Delta u_h\|_{L^2(K)} + \sum_{F} h_K^{3/2} \|j(\nabla u_h)\|_{L^2(F)}\right),$ $K$ $h_K$ $K$ $F$ $j(\nabla u_h)$ $u_h$ $F$ $u_h$ $c$ $h$ в общем, вы просто выбираете некоторые элементы с большим количеством ошибок и уменьшаете их, подразделяя их. Это основа адаптивных методов конечных элементов .

— Кристиан Клэйсон
источник

Этот ответ именно то, что мне нужно, спасибо большое.

— Ань Ти ДИНХ