Как повысить точность метода конечных разностей для нахождения собственной системы сингулярного линейного ОДУ

Я пытаюсь решить уравнение типа:

$\left( -\tfrac{\partial^2}{\partial x^2} - f\left(x\right) \right) \psi(x) = \lambda \psi(x)$

Где имеет простой полюс в для наименьших собственных значений и собственных векторов. Граничные условия: и , и я только смотрю на функцию над .$f(x)$$0$$N$$\psi(0) = 0$$\psi(R)=0$$(0,R]$

Однако, если я сделаю очень простой, равномерно распределенный метод конечных разностей, наименьшее собственное значение будет очень неточным (иногда встречается «ложное» собственное значение, которое на несколько порядков более отрицательное, чем то, которое, как я знаю, должно быть), реальное «первое собственное значение» становится вторым, но все еще бедно).

Что влияет на точность такой конечно-разностной схемы? Я предполагаю, что именно сингулярность является причиной проблемы, и что неравномерно распределенная сетка могла бы значительно улучшить ситуацию, есть ли какие-либо статьи, которые могут указать мне на хороший неоднородный метод конечных разностей? Но, возможно, схема разности более высокого порядка улучшит это больше? Как вы решаете (или это просто "попробуй и посмотри")

примечание: моя схема конечных разностей является симметричной трехугольной, где 3 диагонали:

$\left( -\frac{1}{2 \Delta^2}, \; \frac{1}{\Delta^2} - f(x), \; -\frac{1}{2 \Delta^2} \right)$

Где - интервал сетки. И я решаю матрицу, используя прямой симметричный решатель (я предполагаю, что решатель не сильно влияет на точность, я ошибаюсь?)$\Delta$

Если вы хотите повысить точность схемы конечных разностей, вы всегда можете попробовать увеличить степень вашего трафарета. В эквидистантных точках это может привести к численной нестабильности. Чтобы избежать этих проблем и при этом получить высокую точность, я бы предложил использовать спектральные методы .

Если ваша проблема имеет фиксированные полюса, вы можете попытаться обойти их, разделив свой домен и решив две связанные проблемы.

Система Chebfun (отказ от ответственности: одним из разработчиков которой я являюсь) использует вышеупомянутые методы, и вы могли бы быстро развернуть свою проблему в chebguiинтерфейсе. Я бы попробовал сам, но я не знаю, какой у вас домен или .$f(x)$

Я прикрепил скриншот chebguiокна для вычисления первых шести собственных значений и собственных мод на .$-u''(x) - u(x)x = \lambda u$$[-1,1]$

Обновить

Если вы хотите решить эту проблему, не вдаваясь в подробности об Chebfun, все детали должны быть в главе 9 книги Ника Трефетена « Спектральные методы в Matlab ».

Один из способов быстро улучшить ситуацию (хотя, вероятно, не намного лучше) - рассмотреть сходство используемых вами методов конечных разностей самого низкого порядка и метода конечных элементов самого низкого порядка. Если вы вычисляете трехдиагональную матрицу, полученную при использовании линейных функций формы конечных элементов в 1d, то дискретизация вторых производных будет выглядеть точно так же (до фактора но вы получите другой термин для того, что происходит от . Я не знаю, как выглядит в вашем случае, но где сейчас вы используете , вместо этого это будет что-то вроде где$\Delta x$$f(x)\psi(x)$$f(x)$$f(x_i)$$\int_{x_{i-1}}^{x_{i+1}} f(x) \varphi_i(x)$$\varphi_i(x)$это функция шляпы, которая достигает максимума в . Если достаточно прост, то вы можете точно вычислить этот интеграл, и он предоставит более точную матрицу, из которой вы должны найти собственное значение.$x_i$$f(x)$

Конечно, если вы уже используете конечные элементы, вы также можете инвестировать в использование элементов более высокого порядка, которые не намного сложнее в 1d.