Наименьшее собственное значение без обратного

Предположим, что $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ - симметричная положительно определенная матрица. $A$ достаточно большой, чтобы решить дорого $Ax=b$ .

Существует ли итерационный алгоритм для наименьшего собственного значения $A$ , который не включает инвертирование $A$ в каждой итерации?

То есть мне нужно было бы использовать итерационный алгоритм, такой как сопряженные градиенты, для решения $Ax=b$ , поэтому многократное применение $A^{-1}$ кажется дорогим «внутренним циклом». Мне нужен только один собственный вектор.

Благодаря!

— Джастин Соломон
источник

Вы пробовали использовать разложение Холецкого? Вы должны были бы разложить

A

$A$ на

L L^{T}

$L L^T$ где

L

$L$ - треугольная матрица. Как только у вас есть факторизация (вы делаете это только один раз), вы можете использовать ее на каждой итерации, чтобы очень быстро решить систему путем обратной и прямой подстановки.

— Хуан М. Белло-Ривас

Является ли A разреженной матрицей?

— Толга Бирдал

есть некоторая блочная структура, но я бы предпочел не связываться с ней, если мне не нужно - поэтому я искал «безматричные методы». Я думаю, что алгоритм "LOBPCG" обещает! @Juan, факторизация Холецкого все еще довольно дорога.

A

$A$

— Джастин Соломон

Если вы используете matlab или octave, используйте eigs-routine. Это итеративный метод. Есть варианты, чтобы указать, какое собственное значение вы хотите, например, наименьшее действительное .

— sebastian_g

Я понимаю и действительно использую Eigs в Matlab. Но если указать параметры , такие как «см» в eigs, то он требует инверсии

вместо

. Посмотрите таблицу в документации: mathworks.com/help/matlab/ref/eigs.html

A

$A$

A

$A$

— Джастин Соломон

Вычислите собственное значение наибольшей величины из (скажем, с ). $\lambda_{max}$ $A$ eigs('lm')
Затем вычислить величину наибольшей (отрицательный) собственное значение из (опять же , с помощью стандартного вызова ). $\hat{\lambda}_{max}$ $M = A - \lambda_{max}I$ eigs('lm')
Заметим , что . Причина, по которой это верно, объясняется здесь . $\hat{\lambda}_{max} + \lambda_{\max} = \lambda_{min}(A)$
Найдите свой собственный вектор , решив . $v$ $(A - \lambda_{min} I) v = 0$

— GoHokies
источник