Ранговая структура в дополнении Шура

Я делаю исследование структуры в дополнениях Schur и нахожу интересное явление:

Предположим, что A из 5 - pt лапласиана. Если я использую вложенный порядок рассечения и мультифронтальный метод для вычисления факторизации LU, а затем проверяю последний блок дополнения Шура, он имеет низкий ранг для недиагональных блоков.

Но когда я использую тот же метод для факторизации $A - \lambda I$ , где $\lambda$ является некоторым положительным значением вблизи собственных значений A, то последнее дополнение Шура не обладает свойством низкого ранга.

Я не знаю, изменит ли неопределенный состав структуру в дополнении Шура или нет. Кто-нибудь может дать ссылку на эту тему?

linear-algebra

— Willowbrook
источник

Добро пожаловать в удивительный мир уравнений Гельмгольца. замещать $\lambda \ge 0$ с $\omega^2$ и вы описываете факторизацию уравнения Гельмгольца. Возможно, вас заинтересует этот документ , который охватывает именно эту проблему. Есть также хороший обзорный документ, который объясняет, почему уравнения Гельмгольца являются сложными.

— Джек Полсон
источник

В работе Ина он показал, что для двумерной задачи дополнение Шура должно иметь свойство низкого ранга. Он только утверждает, что для трехмерной задачи свойство низкого ранга не имеет существенного значения. Моя проблема 2D проблема, но она не имеет низкого ранга.

— Уиллоубрук

@ Willowbrook: я думаю, что вы должны прочитать его более внимательно. Свойство низкого ранга считается действительным только для 1d подзадач двумерной задачи и только в случае, когда используется поглощающее граничное условие. Если вы введете один из них в свою формулировку, я думаю, что ваши недиагональные ранги значительно уменьшатся, хотя они все равно должны значительно возрасти с увеличением размера проблемы.

— Джек Полсон,