Выбор наиболее рассеянных точек из набора точек

Существует ли какой-либо (эффективный) алгоритм для выбора поднабора из точек из набора из точек ( ), чтобы они «покрывали» большую часть области (по всем возможным подмножествам размера )?$M$$N$$M < N$$M$

Я предполагаю, что точки находятся в 2D плоскости.

Наивный алгоритм прост, но непомерен с точки зрения временной сложности:

for each subset of N points
    sum distance between each pair of points in the subset
    remember subset with the maximum sum

Я ищу более эффективный или даже приблизительный метод.

Пример, вот плоскость с некоторыми случайными точками в ней:

Для я ожидаю выбора точек, подобных этим:$M=5$

Обратите внимание, что выбранные точки (красные) разбросаны по всей плоскости.

Я нашел статью « Эффективный выбор пространственно распределенных ключевых точек для визуального отслеживания », которая связана с этой проблемой. Однако это предполагает, что баллы взвешены.

Вот примерное решение. Поскольку N так велико, а M так мало, как насчет следующего:

1. Вычислить выпуклую оболочку N
2. Выберите до M точек от корпуса, которые удовлетворяют вашим критериям максимального расстояния.
3. Если на шаге 2 у вас меньше M точек, выберите 1 точку изнутри, которая максимизирует расстояние от ранее выбранных точек.
4. Повторите шаг 3, пока количество выбранных точек не станет М

Интуиция в этом заключается в том, что, поскольку N >> M , и вы хотите, чтобы точки были как можно дальше друг от друга, они, вероятно, будут близки к краям данных, поэтому вы могли бы также начать с корпуса, а затем итеративно пробейся оттуда.

Также, начиная с корпуса, вы уменьшаете начальный поиск с N до N ^1/2 .

ОБНОВИТЬ

Если шаги 3 и 4, описанные выше, занимают слишком много времени (поскольку вы итеративно тестируете внутреннюю часть своего набора данных), мне пришло в голову еще две идеи, чтобы ускорить вашу проблему.

1. Рандомизированный поиск : скажем, вы нашли P точек на корпусе на шаге 2. Затем случайным образом нарисуйте M - P точек изнутри. Выберите лучший набор после X испытаний.
2. Имитация отжига : вычисление наименьшего ограничивающего прямоугольника, который покрывает ваш набор данных (не обязательно должен быть выровнен с осями, может быть наклонен). Затем определите набор из M равномерно распределенных точек сетки на этой ограничительной рамке. Обратите внимание, что эти точки не обязательно совпадают ни с одной из ваших точек набора данных. Затем для каждой точки сетки найдите k- ближайших соседей в вашем наборе данных. Пройдите каждую комбинацию M x k и выберите ту, которая удовлетворяет вашим критериям максимального расстояния. Другими словами, вы используете начальную сетку в качестве начальной загрузки, чтобы найти хорошее начальное решение.

$N$$M$

$M$$M$

$M$$1$$M=3,4,5$

$M=3$$1$$M=4$$M=5$$1$

Если мы хотим избежать преобладающего выбора точек на периферии, другая цель может оказаться полезной. Максимизация минимального расстояния между точками является таким критерием. Связанные проблемы обсуждались в StackOverflow , Computer Science SE , Math.SE и MathOverflow .

$M$$D$$M$$D$

Итак, вы хотите выбрать M точек из заданного набора из N точек на евклидовой плоскости, чтобы сумма парных расстояний выбранных точек была максимальной, верно?

Стандартный алгоритм локального поиска довольно быстрый и предлагает довольно хорошее приближение. Время выполнения является линейным по N и квадратичным по M. Его отношение аппроксимации составляет 1 - 4 / M. Это означает, что отношение становится лучше с ростом М. Например, для M = 10 он получает оптимальное значение в 60%, а для M = 50 - оптимальное значение в 92%.

Алгоритм работает также для евклидовых пространств общей размерности. В этом случае проблема NP-трудна. Но в самолете неизвестно, является ли он NP-сложным.

Источник этой статьи . Надеюсь это поможет! Бест, Альфонсо

Одним из решений является:

• $O(n)$

• Сделайте M искусственно распределенными точками внутри этого ограничивающего прямоугольника, некоторые M сложнее, чем другие. В вашем случае четыре в углах прямоугольника и один в центре

• $O(n(log(n)))$

• $O(m(log(n)))$

$O(n(log(n)))$$\sqrt{M} \in \mathbb{N}$