Как ощущается слабая конвергенция численно?

9

Представьте, что у вас есть проблема в бесконечномерном гильбертовом или банаховом пространстве (подумайте о PDE или задаче оптимизации в таком пространстве), и у вас есть алгоритм, который слабо сходится к решению. Если вы дискретизируете задачу и примените к ней соответствующий дискретизированный алгоритм, то слабая сходимость - это сходимость по каждой координате и, следовательно, также сильная. Мой вопрос:

Чувствует ли этот вид сильной конвергенции отличия от конвергенции, полученной в результате старой доброй простой сильной конвергенции исходного бесконечного алгоритма?

Или, более конкретно:

Какое плохое поведение может произойти с «дискретным методом слабой конвергенции»?

Я сам обычно не совсем счастлив, когда могу доказать только слабую конвергенцию, но до сих пор я не мог наблюдать некоторые проблемы с результатами методов, даже если я масштабировал проблему дискретизированных проблем до более высоких измерений.

Обратите внимание, что меня не интересует проблема «сначала дискретизируй, чем оптимизируй» и «сначала оптимизируй, чем дискретизируй», и я знаю о проблемах, которые могут возникнуть, если применить алгоритм к дискретизированной задаче, которая не разделяет все свойства с проблемой для которого был разработан алгоритм.

Обновление: в качестве конкретного примера рассмотрим проблему оптимизации с переменной в $L^2$ и решить его с помощью чего-то вроде (инерционного) расщепления вперед-назад или каким-либо другим методом, для которого только слабая сходимость в $L^2$ известен. Для дискретизированной задачи вы можете использовать тот же метод, и с правильной дискретизацией вы получите тот же алгоритм, что и при дискретизации алгоритма напрямую. Что может пойти не так, когда вы увеличите точность дискретизации?

algorithms convergence

— кортик
источник

Какой метод вы думаете о том, где анализируется сходимость до того, как проблема бесконечномерности будет дискретизирована? Вы упомянули оптимизацию, поэтому вы в основном думаете о проблемах оптимизации, связанных с PDE, или есть что-то еще?

— Билл Барт

Помимо оптимизации PDE, я имею в виду геометрические вариационные проблемы (например, минимальные поверхности) и проблемы визуализации (например, шумоподавление ТВ, сегментация Мамфорда-Шаха).

— Дирк

3

Это правда, что слабая конвергенция наиболее важна в пределе континуума, так как $h\to 0$ (например, не имея возможности наблюдать какую-либо скорость сходимости). По крайней мере, в гильбертовых пространствах она также тесно связана с неединственностью предела и, следовательно, только с последующей последовательной сходимостью (например, когда вы можете чередовать приближение к разным предельным точкам, снова разрушая скорости), и трудно отделить влияние два на конвергенции.

Специально для слабой сходимости в $L^2$ у вас также есть тот факт, что сходимость не должна быть точечной, и это вы можете наблюдать при (достаточно тонкой) дискретизации. Вот пример из последовательности минимизаторов $\{u_\varepsilon\}_{\varepsilon>0}$ что сходится как $\varepsilon\to 0$ в

U (Икс) знак равно {\begin{cases} - 1 & Икс < \frac{1}{3} \\ 0 & Икс \in [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \\ 1 & Икс > \frac{2}{3} \end{cases}

$u(x) = \begin{cases} -1 & x<\frac13 \\ 0 &x\in [\frac13,\frac23] \\ 1 &x>\frac23\end{cases}$ где сходимость слабая, но не точечная на

[\frac{1}{3}, \frac{2}{3}]

$[\frac13,\frac23]$ (но точечно почти везде). На следующих рисунках показаны три репрезентативных элемента из последовательности (для

ε

$\varepsilon$ уже совсем маленький).

слабая сходимость 1 слабая сходимость 2 слабая сходимость 3

Это явление известно как «дребезжание» в приближении задач управления bang-bang для дифференциальных уравнений (т. Е. Задач с рамочными ограничениями, когда решение почти везде достигает либо нижней, либо верхней границы).

— Кристиан Клэйсон
источник

Отличный пример! Однако я не понял, насколько слабая сходимость связана с неединственностью. В общем, нельзя превратить слабую конвергенцию в сильную конвергенцию, когда предел уникален, верно? Но согласитесь, часто у человека есть только слабая сходимость и неединственность.

— Дирк

Извините, это было плохо сформулировано; Я не имел в виду, что это всегда так. Я имел в виду проблемы, когда вы обычно получаете сходимость нормы, так что, пока у вас есть сходимость полной последовательности, вы можете «перейти» на сильную сходимость (т. Е. Единственное, что может предотвратить сильную сходимость, это последующая сходимость ).

— Кристиан Клэйсон

2

Вопрос, который вы задаете, часто не представляет большой практической проблемы, поскольку слабая сходимость в одной норме может означать сильную сходимость в другой для той же последовательности решений.

Чтобы дать вам один пример, давайте предположим, что мы решаем уравнение Лапласа с достаточно гладкой правой частью на выпуклой многоугольной области со стандартными конечными элементами. Тогда решение $u$ в $H^2$ , но, конечно, конечно-элементное решение $u_h$ только в $H^1$ , Мы знаем что $u_h \rightarrow u$ сильно в обоих $L_2$ а также $H^1$ норм как максимальный размер сетки $h\rightarrow 0$ потому что у нас есть априорные оценки ошибок $\|u-u_h\|_{L_2} \le Ch^2$ а также $\|u-u_h\|_{H^1} \le Ch$ ,

Но ясно, что мы не можем ожидать $u_h \rightarrow u$ сильно в $H^2$ поскольку $u_h$ только в $H^1$ , Но мы могли бы иметь $u_h \rightharpoonup u$ слабо в $H^2$ (на самом деле, я думаю, что это так). Тогда это, вероятно, будет означать утверждение, такое как

⟨ \nabla^{2} (U - U_{час}), \nabla^{2} v ⟩ \leq о (1) \forall v \in {ЧАС}^{2},

$\left< \nabla^2 (u-u_h), \nabla^2 v\right> \le {\cal o}(1) \qquad \forall v \in H^2.$

Дело в том, что вопрос слабой и сильной сходимости, как правило, является вопросом о том, на какую норму вы смотрите, а не свойством последовательности решений, которую вы получаете из своего метода.

— Вольфганг Бангерт
источник

Это правда, но в какой-то момент норма становится слишком слабой, чтобы быть практически полезной (например, когда у вас есть только слабая конвергенция в

L^{2}

$L^2$ , что может означать сильную сходимость в отрицательных соболевских нормах, которые не локализуются).

— Кристиан Клэйсон

@ChristianClason, можете ли вы рассказать, на что это похоже, когда такой метод дискретизируется. Они работают? Так далее?

— Билл Барт

Я имел в виду случай, когда дискретизированная норма фактически приближается к норме, в которой происходит только слабая сходимость (обычно

L^{2}

$L^2$ ).

— Дирк