Как сформулировать матрицу сосредоточенных масс в FEM

При решении зависящих от времени PDE с использованием метода конечных элементов, например, скажем, уравнения теплопроводности, если мы используем явный шаг по времени, то мы должны решить линейную систему из-за матрицы масс. Например, если мы будем придерживаться примера уравнения тепла,

$\frac{\partial{u}}{\partial{t}} = c\nabla{}^{2}u$

затем с помощью форвард Эйлера мы получаем

$M(\frac{u^{n+1}-u^{n}}{dt}) = -cKu^{n}$

и, таким образом, несмотря на то, что мы используем явную схему шагания во времени, нам все равно придется решать линейную систему. Это, очевидно, главная проблема, поскольку основное преимущество использования явных схем состоит в том, что НЕ приходится решать линейную систему. Я читал, что обычный способ обойти эту проблему - вместо этого использовать «сосредоточенную» матрицу масс, которая преобразует матрицу регулярной (согласованной?) Массы в диагональную матрицу и, таким образом, делает инверсию тривиальной. Однако после выполнения поиска в Google я все еще не совсем уверен, как создается эта матрица с сосредоточенными массами. Например, глядя на статью « ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ ДЛЯ МАССОВОГО ОБЪЕКТА» ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ АДВЕКТНО-ДИФФУЗИОННОГОЭдсон Вендланд, Гарри и Эдмар Шульц создают матрицу сосредоточенных масс, просто суммируя все коэффициенты на диагонали. Так, например, если наша оригинальная матрица согласованной массы была:

(\begin{matrix} 4 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 4 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 4\end{pmatrix}$

тогда матрица с сосредоточенными массами будет:

(\begin{matrix} 9 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 9 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9\end{pmatrix}$

Мой вопрос: правильный ли это способ формирования матрицы сосредоточенных масс? Какие недостатки существуют при использовании матрицы сосредоточенных масс вместо полной согласованной матрицы масс с точки зрения точности? Авторы упомянутой мною работы фактически предложили не использовать матрицу с сосредоточенными массами, хотя казалось, что они использовали только неявную схему временного шага, которая, на мой взгляд, была странной, учитывая, что основная причина использования таких матриц - явные методы.

Примечание: я бы никогда не использовал форвард Эйлера для решения уравнения теплопроводности, это был только пример. Также, если это имеет значение, моей задачей является решение уравнений Навье-Стокса, где нелинейный член обрабатывается явно, а диффузионный член обрабатывается неявно.

Спасибо

finite-element time-integration navier-stokes

— Джеймс
источник

O (n^{2})

$O(n^{2})$

Да, я мог бы сделать это, если бы использовал прямой решатель, но если бы я использовал PCG или какой-то другой итеративный решатель, я не думаю, что это помогло бы

— Джеймс

Лично я не доверяю массовому сосредоточению математически. В вычислительном отношении это не дает вам никакого преимущества, если вы не стремитесь к явному переходу во времени, и в этом случае матрицу диагональной массы значительно проще решить. Если вы используете неявный метод пошагового перехода по времени, вы не получите никакой разреженности в матрице. Я думаю, что вы получаете ошибку только в том случае, если не используете согласованную матрицу.

— Павел

Я удивлен, что никто не упомянул метод Фрида и Маркуса (1975) для четырехугольников, который использует узлы в точках Лобатто, чтобы избежать потери ошибки усечения. Не проблема, пока вы не попадаете в кубики, но исключает случайные элементы. Идея была распространена на треугольники, но требует специальной основы и квадратуры.

— Л. Янг

Я не думаю, что есть определенный ответ на это, потому что он может измениться от одной темы к другой (и также зависит от типа элементов, которые вы используете). Об этом также сообщается в недавних статьях [2]. Так что это не закрытое обсуждение. Кроме того, у вас могут быть разные инерционные компоненты (по крайней мере, в механике), когда у вас есть элементы с кинематическими ограничениями в виде балок или оболочек.

Zienkiewicz (см. [1], раздел 16.2.4) обсуждают три метода объединения массы матрицы

$M_{i i}^{(lumped)} = \sum_{j} M_{i j}$ $M^{(\text{lumped})}_{ii} = \sum_j M_{ij}$
$M_{i i}^{(lumped)} = c M_{i i}$ $M^{(\text{lumped})}_{ii} = c M_{ii}$ $c$ $\sum_j M^{(\text{lumped})}_{jj} = \int_\Omega \rho d\Omega$
$M$ $N_i=0$ $x=x_j$ $i\neq j$

Не все методы работают во всех случаях, например, метод суммы строк не работает для элементов с 8-ю узлами, так как это может привести к отрицательным массам.

$M_{\text{tot}}$ $\mathrm{Tr}(M)$

M_{i i}^{(lumped)} = \frac{M_{tot}}{T r (M)} M_{i i} (no summation on i) .

$M^{(\text{lumped})}_{ii} = \frac{M_{\text{tot}}}{\mathrm{Tr}(M)} M_{ii} \quad \text{(no summation on $i$)} \enspace .$

Я также использовал метод 3 с так называемыми Спектральными Методами Элементов с узлами Лобатто (используя эти местоположения как узлы и точки интеграции), которые автоматически приводят к диагональным матрицам.

Из [1] вы можете увидеть этот рисунок, описывающий некоторые методы для некоторых типов элементов. Массовая сосредоточенность для некоторых двумерных конечных элементов

Ссылки

[1] Жу Дж., З.Р.Л. Тейлор и О.Ц. Зиенкевич. «Метод конечных элементов: его основа и основы». (2005): 54-102.

[2] Фелиппа, Карлос А., Цион Го и К.С. Парк. «Массовые матричные шаблоны: общее описание и 1d примеры». Архивы вычислительных методов в технике 22.1 (2015): 1-65.

— Никогуаро
источник