Как выбрать точки в гиперболическом пространстве?

Гиперболическое пространство в модели верхнего полупространства Пуанкаре выглядит как обычный но понятие угла и расстояния искажено относительно простым способом. В евклидовом пространстве я могу выбрать случайную точку в шаре равномерно несколькими способами, например, путем генерации независимых гауссовых выборок для получения направления, и отдельно выбрать радиальную координату , равномерно выбрав из , где - радиус, и установка $\Bbb R^n$ $n$ $r$ $s$ $\left[0, \frac1{n+1}R^{n+1}\right]$ $R$ $r = \left((n+1)s\right)^{\frac1{n+1}}$ , В гиперболической верхней полуплоскости сфера все еще остается сферой, только ее центр не будет центром в евклидовой метрике, поэтому мы могли бы сделать то же самое.

Если мы хотим произвести выборку в соответствии с неравномерным распределением, но все же изотропным способом, например, распределением Гаусса, это не так просто. В евклидовом пространстве мы могли бы просто сгенерировать гауссову выборку для каждой координаты (это работает только для гауссовского распределения) или эквивалентно сгенерировать многомерную гауссовскую выборку. Есть ли прямой способ преобразовать этот образец в образец в гиперболическом пространстве?

Альтернативный подход может состоять в том, чтобы сначала генерировать направление, равномерно распределенное направление (например, из гауссовых выборок), затем гауссову выборку для радиального компонента, и, наконец, генерировать изображение по экспоненциальной карте в указанном направлении для указанной длины. Вариантом было бы просто взять евклидову гауссову выборку и отобразить ее под экспоненциальной картой. $n$

Мои вопросы:

Каков будет хороший и эффективный способ получения гауссовой выборки с заданным средним и стандартным отклонением в гиперболическом пространстве?
способы, описанные выше, обеспечивают желаемую выборку?
кто-нибудь уже разработал формулу?
как это обобщается на другие метрики и другие вероятностные распределения?

Заранее спасибо.

РЕДАКТИРОВАТЬ

Я просто понял, что даже в случае равномерной выборки эти вопросы остаются; даже если сфера является сферой, равномерное распределение не будет описываться постоянной функцией на шаре.

— doetoe
источник

@ да спасибо за ваш комментарий. В каждом топологическом пространстве имеется алгебра Бореля-сигма, порожденная топологией. Риманова метрика дает вам представление о объеме. Если общий объем конечен, его можно нормализовать, чтобы получить распределение вероятностей, или, в более общем смысле, он дает вам прямые равномерные распределения вероятностей на измеримых множествах конечного объема. Поскольку у вас есть геометрическая структура, включая понятие геодезических и длины дуг, вы также можете определить гауссовы распределения по плотности вероятности, которая уменьшается на расстояние так же, как в евклидовом пространстве

— доэто

@yes В модели шара может быть проще произвести выборку вокруг центра шара, а затем перенести его с помощью изометрии, по крайней мере, евклидовы и гиперболические вращения вокруг центра совпадают. Если это действительно наиболее эффективно, вопрос сводится к тому, как сделать выборку вокруг центра в модели диска в соответствии с нормальным распределением для гиперболической метрики.

— 2015 г.

Вы должны быть в состоянии адаптировать римановое многообразие Марка Джиролами MCMC для генерации образцов здесь. Но это может быть излишним. Вы выполняете MCMC, но генерируете предложения, снимая геодезические с текущей точки.

— Ник Алджер

@NickAlger это звучит интересно, у вас есть ссылка?

— Доэто

Вот его основная статья об этом. Они превращают проблему выборки неравномерного распределения на плоском пространстве в задачу выборки равномерного распределения на многообразии, тогда как вы начинаете с равномерного распределения на многообразии. rss.onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1111/…

— Ник Алджер

Я в середине делаю это для себя. Я думаю, что наиболее подходящим аналогом Гаусса было бы ядро тепла в гиперболическом пространстве. К счастью, это было выяснено раньше: https://www.math.uni-bielefeld.de/~grigor/nog.pdf (также доступно в Бюллетене Лондонского математического общества ).

Если вы используете стандартное затухание ( ), я ожидаю, что общая масса будет больше 1 из-за экспоненциального увеличения объема с радиусом для гиперболического пространства. $e^{-dist^2/constant}$

Для равномерной выборки на данном шаре (или другом компактном наборе) можно выполнить выборку отбраковки в форме объема:

{(\frac{2}{1 - | | x | |^{2}})}^{n} d x_{1} \dots d x_{n}

$\left(\frac{2}{1-||x||^2} \right)^n \, dx_1 \, \ldots \, dx_n$

Вот равномерный образец для шара радиуса 3 с центром в начале координат:

При желании я был бы рад сказать больше. Я просто думал, что с этим смирился, так как в этом явно был некоторый интерес, по крайней мере, в прошлом.

— Эдвард Чиен
источник

Поблагодарить! Я не успел еще изучить понравившуюся статью, но это выглядит интересным и актуальным

— doetoe

σ / 2

$\sigma / 2$

Константа pi является только константой в евклидовом пространстве. Значение пи отличается в других геометриях. Параметр pi изменяет массу вероятности по гауссову. Параметр pi используется для нормализации вероятностей. Я только начинаю изучать это.

Некоторое время назад я пришел к выводу, что с ростом числа сигм пространство меняется от гиперболического к евклидовому и сферическому. Я был счастлив встретить обсуждение кругов в каждом пространстве и числа p как функции пространств Lp через параметр p.

— Дэвид В. Локк
источник