Хорошая конечная разница для уравнения непрерывности

Что было бы хорошей конечной разностной дискретизацией для следующего уравнения:

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \left(\rho u\right)=0$ ?

Мы можем взять 1D случай:

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{d}{dx}\left(\rho u\right)=0$

По какой-то причине все схемы, которые я могу найти, предназначены для формулировки в лагранжевых координатах. Я придумал эту схему на данный момент (не обращая внимания на индекс j ):

$\frac{\rho^{n+1}_{i,j}-\rho^{n}_{i,j}}{\tau} + \frac{1}{h_x}\left(\frac{\rho^{n+1}_{i+1,j}+\rho^{n+1}_{i,j}}{2}u^{n}_{_xi+1/2,j}- \frac{\rho^{n+1}_{i,j}+\rho^{n+1}_{i-1,j}}{2}u^{n}_{_xi-1/2}\right)=0$

Но кажется, что он действительно нестабилен или имеет какое-то ужасное состояние стабильности. Это так?

Скорость фактически рассчитывается по закону Дарси . Плюс у нас есть уравнение состояния. Полная система также состоит из уравнения энергии и уравнения состояния для идеального газа. Скорости могут стать отрицательными .$u=-\frac{k}{\mu}\nabla p$

Вы смотрите на уравнение сохранения массы:

$\dfrac{dm}{dt}=0$

При рассмотрении эволюции массы на единицу объема это сводится к уравнению адвекции плотности в форме потока:

$\dfrac{\partial \rho}{\partial t} = -\nabla \cdot (\rho u)$

Хорошо, что это просто уравнение адвекции произвольного скалярного поля (в нашем случае это плотность ), и его (относительно) легко решить, при условии адекватных схем разности времени и пространства и начальных и граничные условия.$\rho$

При разработке схемы конечных разностей мы заботимся о сходимости, стабильности и точности. Схема сходится, если когда . Устойчивость схем гарантирует, что величина остается конечной при . Формальная точность схемы показывает, где лежит ошибка усечения в разложении Тейлора в частную производную. Посмотрите учебник CFD для получения более подробной информации об этих фундаментальных свойствах схемы дифференцирования. Δt→0At→$\dfrac{\Delta A}{\Delta t} \rightarrow \dfrac{\partial A}{\partial t}$$\Delta t \rightarrow 0$$A$$t \rightarrow \infty$

Теперь самый простой подход - перейти прямо к разнице вверх по течению 1-го порядка. Эта схема является положительно определенной, консервативной и вычислительно эффективной. Первые два свойства особенно важны, когда мы моделируем эволюцию величины, которая всегда положительна (т.е. масса или плотность).

Для простоты, давайте посмотрим на 1-D случай:

$\dfrac{\partial \rho}{\partial t} = -\dfrac{\partial(\rho u)}{\partial x}$

Теперь удобно определить поток , чтобы:$\Phi = \rho u$

$\dfrac{\partial(\rho u)}{\partial x} = \dfrac{\partial \Phi}{\partial x} \approx \dfrac{\Delta \Phi}{\Delta x} \approx \dfrac{\Phi_{i+1/2}-\Phi_{i-1/2}}{\Delta x}$

Вот схема того, что мы моделируем:

            u           u
|          -->         -->          |
|    rho    |    rho    |    rho    |
x-----o-----x-----o-----x-----o-----x
     i-1  i-1/2   i   i+1/2  i+1

Мы оцениваем эволюцию в клетке . Чистая прибыль или убыток происходят из разницы того, что входит, и того, что выходит, . Здесь мы начинаем расходиться с ответом Павла. При истинном консервативном различении вверх по течению количество в центре клетки переносится скоростью на краю ее клетки в направлении ее движения. Другими словами, если вы представляете, что вы - адвектированное количество, и вы сидите в центре клетки, вас переносят в клетку перед вами со скоростью на краю клетки. Оценка потока на краю ячейки как произведение плотности и скорости, как на краю ячейки, не является правильной и не сохраняет адвективную величину.$\rho$$i$$\Phi_{i-1/2}$$\Phi_{i+1/2}$

Входящие и исходящие потоки оцениваются как:

$\Phi_{i+1/2} = \dfrac{u_{i+1/2}+|u_{i+1/2}|}{2}\rho_{i} + \dfrac{u_{i+1/2}-|u_{i+1/2}|}{2}\rho_{i+1}$

$\Phi_{i-1/2} = \dfrac{u_{i-1/2}+|u_{i-1/2}|}{2}\rho_{i-1} + \dfrac{u_{i-1/2}-|u_{i-1/2}|}{2}\rho_{i}$

Вышеуказанная обработка разности потоков обеспечивает определенность в восходящем направлении. Другими словами, он регулирует направление разности в соответствии со знаком скорости.

Критерий устойчивости Куранта-Фридрихса-Леви (CFL), при выполнении разности во времени с простым первым порядком, прямое различие Эйлера задается как:

$\mu = \dfrac{u\Delta t}{\Delta x} \leq 1$

Обратите внимание, что в двух измерениях критерий устойчивости КЛЛ является более строгим:

$\mu = \dfrac{c\Delta t}{\Delta x} \leq \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

где - величина скорости, .$c$$\sqrt{u^{2}+v^{2}}$

Некоторые вещи для рассмотрения. Эта схема может подходить или не подходить для вашего приложения в зависимости от того, какой процесс вы моделируете. Эта схема очень диффузная и подходит для очень гладких течений без резких градиентов. Это также более распространено для более коротких временных шагов. В одномерном случае вы получите почти точное решение, если градиенты очень малы, и если . В двумерном случае это невозможно, а диффузия анизотропна.$\mu = 1$

Если ваша физическая система рассматривает ударные волны или высокие градиенты другого рода, вам следует изучить различие более высокого порядка вверх по течению (например, 3-го или 5-го порядка). Кроме того, возможно, стоит взглянуть на семейство схем с коррекцией потока (Zalesak, 1979, JCP); антидиффузионная поправка для вышеуказанной схемы Смоларкевичем (1984, JCP); Семейство схем MPDATA Смоларкевича (1998, JCP).

Для разницы во времени разность Эйлера 1-го порядка может быть удовлетворительной для ваших нужд. В противном случае обратите внимание на методы более высокого порядка, такие как Рунге-Кутта (итеративный) или Адамс-Башфорт и Адамс-Моултон (многоуровневый).

Было бы целесообразно заглянуть в какой-нибудь учебник для выпускников CFD для краткого изложения вышеупомянутых схем и многого другого.

В одномерном случае вы не хотите использовать прямую или центральную разностную схему для термина пространственной производной потому что они численно нестабильны. Вместо этого лучше дискретизировать уравнение с явной обратной (обратной) конечной разницей для пространственной производной:$(\frac{d}{dx})$

$\frac{\rho_i^{k+1}-\rho_i^k}{\Delta t} + \frac{\rho_i^k U_i^k-\rho_{i-1}^k U_{i-1}^k}{\Delta x} = 0$ .

Если скорости положительные, то эта обратная схема устойчива. Если они отрицательны, то сработает прямая разница. Несмотря на это, всегда существует ограничение на выбор и (число куранта), чтобы сделать схему стабильной.Δ $\Delta x$$\Delta t$