Эстимейт Норма функционала черного ящика

Пусть - конечномерное векторное пространство с нормой$V$$\|\cdot\|$и пусть - ограниченный линейный функционал. Это только дано как черный ящик.$F : V \rightarrow \mathbb R$

Я хотел бы оценить норму (сверху и снизу). Поскольку - это черный ящик, единственный способ сделать это - проверить его с помощью единичных векторов из и, основываясь на результате, найти который максимизирует,$F$$F$$V$$v \in S^1 V$$|F(v)|$

Вы знаете такой алгоритм? В приложении, которое я имею в виду, является пространством конечных элементов, а является сложным функционалом в этом пространстве.$V$$F$

РЕДАКТИРОВАТЬ: Моя первая идея состоит в том, чтобы выбрать случайным образом, возмущать его в нескольких направлениях, скажем, , а затем повторить процедуру с который получил наибольшее . Я не знаю, где найти алгоритмы и анализ для этой проблемы.$v \in S^1 V$$v_1,\dots,v_k$$v_i$$F(v_i)$

Если ваше пространство является гильбертовым пространством, то теорема Рисса говорит, что вы можете представить и вы можете вычислить как вы упомянули, опробовав единичные векторы. Если пространство многомерно, то это становится непрактичным, но вы можете по крайней мере вычислить оценки , вычислив для последовательности случайных векторов .$V$$F(v)=\left< f, v \right>$$f$$f$$F(v)$$v$

Возможно, вы можете изменить оценку числа условий Хагера (см., Например, статью http://eprints.ma.man.ac.uk/321/01/35608.pdf ), которая ограничивает$\|A^{-1}\|$ когда факторизация $A$ Известно, что работать для вашего конкретного случая.