Влияет ли прямой решатель на номер условия матрицы?

Если бы мне пришлось решать относительно небольшую задачу, то есть проблему, которая может быть решена прямым методом, таким как LU, то влияет ли число условий линейного оператора на точность решения?

Одна из исследовательских задач, над которыми я работаю, фокусируется на разработке методов оптимизации для решения линейных систем уравнений, и «проблемы», с которыми я сталкиваюсь, состоят в том, что числа условий матриц могут быть очень высокими.

Это было бы важным фактором, который следует учитывать, если бы я использовал итеративный метод и предварительное условие, но сейчас я решаю небольшие проблемы (менее 1 млн. Степеней свободы), поэтому сейчас нужен прямой решатель.

$Ax = b$$O(\kappa(A) \cdot \varepsilon)$$\varepsilon$$1 + \varepsilon > 1$$\varepsilon \approx 10^{-16}$$10^{12}$

Для итерационных решателей номер условия матрицы входит в представление даже в арифметике с бесконечной точностью, потому что он часто диктует теоретическую скорость сходимости алгоритма. С прямыми решателями это становится важным только после того, как вы учтете тот факт, что ваш компьютер работает с конечной точностью.