Вычисление характеристического многочлена вещественной разреженной матрицы

9

Учитывая общую разреженную матрицу $A \in \mathbb{R}^{n\times n}$ с ~~m << n~~ (поправка: $m \ll n^2$ ненулевые элементы (обычно $m \in {\cal O}(n)$ ). $A$ является общим в том смысле, что не имеет специфических свойств (например, положительной определенности), и не предполагается никакой структуры (например, полосатости).

Каковы некоторые из хороших численных методов для вычисления либо характеристического полинома, либо минимального полинома $A$ ?

linear-algebra algorithms sparse-matrix

3

Похоже, вы хотите вычислить все собственные значения. Почему вы хотите, чтобы многочлен и как вы хотите, чтобы он выразился? Мономиальный базис чрезвычайно плохо обусловлен, поэтому коэффициенты, вероятно, не могут быть стабильно вычислены в арифметике конечной точности.

— Джед Браун

@JedBrown больше созерцания. В своем ответе на этот вопрос я дал алгебраический метод обращения матрицы, которая хорошо известна в компьютерной алгебре (например, матрицы над коммутативными кольцами и полями). Я хочу знать, смогу ли я использовать его для числовых матриц. Обратите внимание, что для этого вопроса меня интересуют численные методы для нахождения характеристического / минимального полинома, а не обратного.

1

Если $O(n^3)$ сложность не является пробкой, тогда вы можете взглянуть на метод Данилевского. Он довольно хорошо известен в русской литературе по числовой линейной алгебре, но на английском языке не так много информации. Вы можете начать с этой ссылки .

Идея довольно проста: матрица постепенно сводится к нормальной форме Фробениуса с помощью «подобного элиминации» преобразования подобия. Если вы не найдете информацию, я могу сделать алгоритм более сложным.

— faleichik
источник

1

Вы можете использовать численный метод, такой как QR Factorization или Power Method и его действительные значения (обратная мощность и т. Д.), Чтобы вычислить собственные значения вашей общей матрицы. После этого вы можете вычислить свой характеристический полином с помощью факторизации следующим образом: (λ-λ1) (λ-λ2) ... (λ-λn) = 0, где λi - вычисленные собственные значения. Вот краткая презентация о силе и методах QR:

QR-Power

— ChemEng
источник

0

Кстати: вы хотели сказать, что у вас есть $m \ll O(n^2)$ записи? Если действительно $m \ll O(n)$ тогда большинство строк и столбцов будут полностью пустыми, и вполне вероятно, что характеристический полином на самом деле не имеет степени $n$ но степени $O(m)$ ,

— Вольфганг Бангерт
источник

Ops. Я хотел сказать

m ≪ n^{2},

$m \ll n^2,$ т.е.

m \in O (n)

$m \in {\cal O}(n)$ , Прости за это.