Крошечный детерминант подразумевает плохое кондиционирование матрицы?

Если у меня есть квадратная обратимая матрица, и я беру ее определитель, и я нахожу, что , означает ли это, что матрица плохо обусловлена? $\det(A) \approx 0$

Верно ли и обратное? Имеет ли плохо обусловленная матрица почти нулевой определитель?

Вот что я пробовал в Октаве:

a = rand(4,4);
det(a) %0.008
cond(a)%125
a(:,4) = 1*a(:,1) + 2*a(:,2) = 0.000000001*ones(4,1);
det(a)%1.8E-11
cond(a)%3.46E10

linear-algebra condition-number

— расследование
источник

Определитель показывает, является ли матрица регулярной или единственной. Это не показывает, хорошо ли это или плохо обусловлено.

— Аллан П. Энгсиг-Каруп

Величина определителя не может отражать плохую обусловленность:

κ (A) = κ (A^{- 1})

$\kappa(A)=\kappa(A^{-1})$ но

det (A^{- 1}) = (det A)^{- 1}

$\det (A^{-1})=(\det A)^{-1}$ .

— фалейчик

Должны ли быть

\approx

$\approx$ или

\neq

$\ne$ где - нибудь?

— Дознание

Если вы хотите узнать больше о влиянии математики с плавающей точкой на матричные спектры, вам следует ознакомиться с книгой Ника Трефетена: « Спектры и псевдоспектры: поведение ненормальных матриц и операторов и шлюз псевдоспектров» .

— Арон Ахмадиа

Ответы:

Это большая величина условного числа $\kappa(\mathbf A)$ которая измеряет близость к сингулярности, а не крошечность определителя.

Например, диагональная матрица $10^{-50} \mathbf I$ имеет крошечный определитель, но она хорошо обусловлена.

С другой стороны, рассмотрим следующее семейство квадратных верхних треугольных матриц, принадлежащих Александру Островскому (а также изученному Джимом Уилкинсоном):

U = (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & 2 \\ 1 & ⋱ & ⋮ \\ ⋱ & 2 \\ 1 \end{matrix})

$\mathbf U=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&2\\&1&\ddots&\vdots\\&&\ddots&2\\&&&1\end{pmatrix}$

Определитель матрицы всегда равен , но отношение наибольшего к наименьшему единственному значению (т. Число 2-нормальных условий ), как показал Островский, равен , который, как можно видеть, увеличивается при увеличении . $n\times n$ $\mathbf U$ $1$ $\kappa_2(\mathbf U)=\dfrac{\sigma_1}{\sigma_n}$ $\cot^2\dfrac{\pi}{4n}$ $n$

— JM
источник

@Nunoxic: наверняка нет; прежде чем я начну в деталях, вы уже знакомы с разложением единственного значения?

— JM

Очень хорошо. Это все, что вам нужно знать. Идея состоит в том, что очень важная информация об обусловленности сосредоточена в . В частности, вы захотите найти самые большие и самые маленькие значения (помните, что декомпозиция определена так, что диагональные элементы неотрицательны) в диагонали этой матрицы. Отношение наибольшей к наименьшей диагональной записи - это число условий . Какой размер номера условия вас должен волновать, зависит от машины, на которой вы работаете ...

Σ

$\mathbf \Sigma$

Σ

$\mathbf \Sigma$

κ

$\kappa$

— JM

... но в целом, когда вы линейные уравнения с этой матрицей, вы теряете в своем решении base- цифры. Это грубое правило для номера условия; так что если вы работаете только с 16 цифрами, А из должно быть причиной для беспокойства.

\approx \log_{b} κ

$\approx \log_b \kappa$

b

$b$

κ

$\kappa$

10^{1} 3

$10^13$

— JM

Да, но это не рекомендуемый метод определения номера условия (пояснение которого к другому вопросу). Я полагаю, вы знаете, как инвертировать диагональную матрицу, нет?

— JM

"Regd. Потеря цифр, не могли бы вы дать мне ссылку на это?" - Могу, но это действительно одна из тех вещей, которые вы должны экспериментировать самостоятельно в вычислительной среде для подкрепления.

— JM

Поскольку , определитель может быть сделан произвольно большим или маленьким путем простого масштабирования (которое не меняет число условия). Особенно в больших размерах, даже масштабирование невинным фактором 2 изменяет детерминант в огромной степени. $\det(kA)=k^n\det A$

Таким образом, никогда не используйте детерминант для оценки состояния или близости к сингулярности.

С другой стороны, почти для всех хорошо поставленных численных задач условие тесно связано с расстоянием до сингулярности, в смысле наименьшего относительного возмущения, необходимого для того, чтобы сделать задачу некорректной. В частности, это справедливо для линейных систем.

— Арнольд Ноймайер
источник