Почему Octrees используются для разложения мультипольного пространства?

В большинстве (всех?) Реализаций быстрого мультипольного метода (FMM) октоды используются для декомпозиции соответствующей области. Теоретически, октреи предоставляют простую объемную границу, которая полезна для доказательства O (n) времени выполнения FMM. Помимо этого теоретического обоснования, есть ли преимущества использования Octree по сравнению с другими структурами дерева или дерева данных?

Определение списка взаимодействия может быть проще с октодеревом, потому что ячейка будет знать своих непосредственных соседей. Однако в списке взаимодействий нет необходимости, используя более динамический обход дерева, такой как Dual Tree Traversal .

Альтернативой будет kd-дерево. Одним из возможных теоретических недостатков является то, что для строительства требуются дорогостоящие операции по поиску медианы. Однако существуют версии kd-деревьев, которые не требуют медианного поиска во время построения, хотя и с менее эффективным разделением пространства. С точки зрения реализации, kd-дерево очень просто.

Еще более радикальной альтернативой может быть R-дерево .

Итак, мой вопрос: как насчет Octrees, которые делают их лучшим выбором для FMM?

algorithms

— Бен Томпсон
источник

Я думаю, что это делает определение списков взаимодействия (какие наблюдатели находятся в дальнем поле, из каких источников) особенно простым.

— rchilton1980

Определение списков взаимодействия должно быть довольно простым с любой формой декомпозиции иерархического пространства.

— Бен Томпсон

Я согласен с вами в том, что октавные деревья теоретически просты для анализа. Другие алгоритмы быстрого суммирования, такие как -матрицы (которые являются алгебраическими обобщениями FMM), используют разные деревья, такие как геометрическое деление на части или расщепление на основе кластеров.

H

$\mathcal{H}$

— user2457602

Я не специалист по этому вопросу, но, возможно, тот факт, что у октрее больше «симметрии», играет роль? Перегородки в октое дерево расположены регулярно и имеют одинаковую квадратную форму, что может помочь в создании многополюсных расширений по сравнению, например, с деревом kd.

— Яннис Теуниссен

Octrees - естественный результат декомпозиции области в трех измерениях.

— gpavanb

Приведенные выше комментарии дают несколько очень веских причин для использования октодеревьев (т. Е. Рекурсивного деления вычислительного куба пополам в каждом измерении в отличие от более общего ортогонального деления пополам). Симметрия и простота расчета списков взаимодействий - большой плюс.

Я бы сказал, что, пожалуй, самая важная особенность, которую октры привносят в таблицу, заключается в том, что теорема сложения, лежащая в основе FMM, систематически выполняется для взаимодействий в дальней зоне, не зависящих от геометрии, с чрезвычайно простым критерием четкого разделения одного или нескольких «буферов». коробки. Другими словами, представление FMM-суммы потенциального поля гарантированно сходится с возрастающим порядком при непатологических обстоятельствах.

— SMH
источник