Матричная экспонента косоэрмитовой матрицы с фортраном 95 и LAPACK

11

Я просто заправлен в Фортран 95 для моделирования квантовой механики. Честно говоря, я был избалован Октавой, поэтому я воспринял возведение в матрицу как должное. Учитывая (малую, ) косоэрмитову матрицу размера , каков наиболее эффективный способ использования LAPACK для решения этой проблемы? Я не использую оболочку LAPACK95, просто прямые звонки в LAPACK. $n\leq 36$ $n\times n$

fortran lapack

— qubyte
источник

2

Вам нужна матричная экспонента сама по себе, или вам нужна матричная экспонента, умноженная на вектор?

— Павел

@Paul: Извините, не видел этого раньше. Нет, мне нужна вся матрица.

— кв. В

Почему кто-то отрицает этот вопрос? Если вы отрицаете, пожалуйста, оставьте причину в комментариях! Возможно, вопрос можно улучшить таким образом.

— кв. В

Мы полагаемся на DGPADM , но, по словам Джека Полсона, может быть лучший путь.

— Майк Данлавей

16

Матричные экспоненты косоэрмитовых матриц дешевы для вычисления:

Предположим, что - это ваша косоэрмитова матрица, тогда - эрмитова, и через zheevd и друзей вы можете получить разложение $A$ $iA$

я A знак равно U Λ U^{ЧАС},

$iA = U \Lambda U^H,$

где - унитарная матрица собственных векторов, а - вещественная и диагональная. Тогда, тривиально, $U$ $\Lambda$

A знак равно U (- я Λ) U^{ЧАС},

$A = U (-i \Lambda) U^H.$

Если у вас есть и , легко вычислить $U$ $\Lambda$

ехр (A) знак равно ехр (U (- я Λ) U^{ЧАС}) знак равно U ехр (- я Λ) U^{ЧАС}

$\exp(A)=\exp(U (-i\Lambda) U^H)=U \exp(-i\Lambda) U^H$

сначала возводя в степень собственные значения, устанавливая помощью zcopy , выполняя , запуская zscal для каждого столбца с возведенным в степень собственным значением, и, наконец, устанавливая свой результат равным $B := U$ $B := B \exp(-i \Lambda)$

ехр (A) знак равно В U^{ЧАС}

$\exp(A) := B U^H$

через згемм .

— Джек Полсон
источник

Благодаря! Я пропустил очевидный трюк с

. Вы поместили меня в определенные подпрограммы LAPACK, которые мне нужны, поэтому большое спасибо за это. Я пока не буду отмечать это как правильное (сначала хочу проверить).

i

$i$

— кв. В

1

Нет спешки. Я на самом деле реализовал это раньше, так что я довольно уверен :-)

— Джек Полсон

Это будет один из тех волшебных кусочков кода, которые я использую повсюду. За то, что это стоит, я также добавлю спасибо в строке комментария, который, вероятно, никто больше не увидит.

— кв. В

2

@JackPoulson: Хорошо сыграно, сэр. Это то, что я получаю, выбирая мажор, который не верит в воображаемые числа (кроме собственных значений).

— Джефф Оксберри

1

@JackPoulson: это прекрасно работает. Еще раз спасибо за это. Особенно немного zscal. У меня была большая часть кода в другой подпрограмме, но это было то, что я упустил.

— кв. В

5

Поскольку я нахожусь на своем телефоне, я не могу связать вещи легко, и добавлю ссылки позже. Возможно, вам захочется взглянуть на статью «19 сомнительных способов вычисления экспоненциальной матрицы», библиотеку Фортрана EXPOKIT, статью Джитсе Нисена о методах Крылова для вычисления экспоненциальной матрицы и некоторые недавние статьи Ника Хайама об экспоненциальных показателях матрицы. Чаще всего требуется произведение экспоненциальной матрицы и вектора, а не только экспоненциальной матрицы, и здесь методы Крылова могут быть весьма полезны. Для более мелких плотных матриц, подобных тем, которые вы описываете, методы Паде могли бы быть лучше, но у меня был большой успех с методами Крылова, когда они использовались внутри экспоненциальных методов для численного интегрирования ОДУ.

— Джефф Оксберри
источник

Спасибо. Я знаю 19 сомнительных способов , а также expokit, но некоторые люди, с которыми я работаю, работают в промышленности, поэтому я хочу избежать этого по причинам авторского права. Я заинтересован в реализации этого с LAPACK / BLAS, так как я уже ссылаюсь на эти библиотеки. Хотя одна вещь; Мне нужна сама матрица экспоненциальная. Я работаю над вариантом квантовой томографии процесса, и данный процесс воплощен в матрице. Позже я буду иметь дело с интегратором в сочетании с этой экспоненциальной матрицей, и тогда она станет действительно интересной!

— кв. В

1

Комплексный подход eigensolution математически корректен, но он выполняет больше работы, чем необходимо. К сожалению, улучшенный подход, который я собираюсь описать, не может быть реализован с вызовами LAPACK.

Посмотрите на RC Ward и LJ Grey, ACM Trans. Математика Мягкий. 4, 278 (1978). Здесь описывается программное обеспечение, которое доступно в алгоритме 530 TOMS и которое можно загрузить с netlib. Здесь описывается, как разложить асимметричную матрицу как $X$

Икс знак равно U D U^{T}

$X = U D U^T$

$U$ $D$ $2\times 2$ $1\times 1$ $1\times 1$ $\exp(0)=1$ $2\times 2$

ехр (\begin{matrix} 0 & - T \\ T & 0 \end{matrix}) знак равно (\begin{matrix} соз T & - грех T \\ грех T & соз T \end{matrix})

$\exp \begin{pmatrix} 0 & -t \\ t & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos t & -\sin t \\ \sin t & \cos t \end{pmatrix}$

Вы хотите получить экспоненциальную матрицу

ехр (Икс) знак равно U ехр (D) U^{T}

$\exp(X) = U \exp(D) U^T$

Я использовал этот подход в своих кодах квантовой химии в течение нескольких десятилетий, и у меня никогда не было проблем с любым программным обеспечением.

— Рон Шепард
источник

Привет @ Рон Шепард и добро пожаловать в Computational Exchange SE. Можете ли вы редактировать свое второе и третье уравнения? Их немного сложно понять.

— Никогуаро

0

Если все, что вам нужно, это экспоненциальная матрица, умноженная на вектор, то эта подпрограмма на Фортране может быть вам полезна . Он вычисляет:

$(e^A)v$

где v - вектор, а A - регулярная эрмитова матрица. Это подпрограмма из библиотеки EXPOKIT

В противном случае вы можете рассмотреть эту подпрограмму, которая работает для любой общей сложной матрицы A.

— Пол
источник

Это не похоже на ссылку на библиотеки Фортрана.

— Джефф Оксберри

@GeoffOxberry: я переписал его, чтобы включить подпрограммы фортрана

— Пол

@ Пол: Боюсь, ничего хорошего. То, что я делаю, это полностью матричная вариация на томографии процесса. Кроме косо- эрмитов!

— кв. В

Я ценю, что вы переписали свой ответ, но, судя по следам редактирования, похоже, что вы полностью изменили свой ответ, взяли элементы моего хронологически более раннего ответа и добавили ссылки.

— Джефф Оксберри

@GeoffOxberry: Наоборот ... Мои результаты пришли независимо от ваших, но вы писали до того, как я получил возможность переписать свой ответ :)

— Пол