Я хотел бы провести несколько простых симуляций рассеяния волновых пакетов от простых потенциалов в одном измерении.

Существуют ли простые способы численного решения одномерной TDSE для отдельной частицы? Я знаю, что в целом попытка использовать наивные подходы для интеграции уравнений в частных производных может быстро привести к катастрофе. Поэтому я ищу алгоритмы, которые

• численно устойчивы,
• просты в реализации или имеют легко доступные реализации библиотек кода,
• бежать достаточно быстро, и, надеюсь,
• относительно просты для понимания.

Я также хотел бы держаться подальше от спектральных методов, и особенно от методов, которые немного больше, чем обычное решение не зависящего от времени уравнения Шредингера. Тем не менее, я был бы заинтересован в псевдоспектральных методах, которые используют B-сплайны или еще много чего. Если метод может использовать потенциал, зависящий от времени, то это определенно бонус.

Конечно, любой такой метод всегда будет иметь ряд недостатков, поэтому я хотел бы услышать о них. Когда это не работает? Каковы общие подводные камни? Какими путями это можно протолкнуть, а какими - нет?

Уравнение Шредингера фактически является реакция-диффузия уравнения (все константы равны 1). Когда дело доходит до любого уравнения в частных производных, есть два способа его решить:

$$i\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\nabla^2\psi+V\psi\tag{1}$$

1. Неявный метод (adv: большие временные шаги и безусловно стабильный, disadv: требуется матричный решатель, который может давать неверные данные)
2. Явный метод (adv: легко реализовать, disadv: для стабильности требуются небольшие временные шаги)

Для параболических уравнений (линейных по и 2-го порядка по ) неявный метод часто является лучшим выбором. Причина в том, что условие устойчивости для явного метода требует , которое будет очень маленьким. Вы можете избежать этой проблемы, используя неявный метод, который не имеет такого ограничения по временному шагу (хотя на практике вы обычно не делаете его безумно большим, потому что можете потерять часть физики). Далее я опишу метод Кранка-Николсона , общую неявную схему второго порядка (пространство и время).х д т ∝ д х $t$$x$$dt\propto dx^2$

Закуска

Для того чтобы вычислить PDE в вычислительном отношении, вам нужно его дискретизировать (сделать переменные вписанными в сетку). Самым простым является прямоугольная декартова сетка. Здесь представляет индекс времени (и всегда является суперскриптом), а индекс позиции (всегда индекс). Используя разложение Тейлора для зависимой от позиции переменной, уравнение (1) становится Где мы предположили, чтоj i ψ n + 1 j - ψ $n$$j$V=V(x)

$$i\frac{\psi^{n+1}_j-\psi_j}{dt} = -\frac12\left(\frac{\psi_{j+1}^{n+1}-2\psi_j^{n+1}+\psi_{j-1}^{n+1}}{dx^2}+\frac{\psi_{j+1}^{n}-2\psi_j^{n}+\psi_{j-1}^{n}}{dx^2}\right) \\ +\frac12\left(V_j\psi_j^{n+1} +V_j\psi_j^n\right)$$ $V=V(x)$, Далее происходит группировка одинаковых пространственных и временных индексов (вы можете дважды проверить математику): Это уравнение имеет вид (A0A-00⋯A+A0A-0⋯0A+A0A-⋯⋮⋮⋮⋱⋮)(ψ n + 1 0 ψ n 1 $$\frac12\frac{dt}{dx^2}\psi_{j+1}^{n+1}+\left(i-\frac{dt}{dx^2}-\frac12V_j\right)\psi_j^{n+1}+\frac12\frac{dt}{dx^2}\psi_{j-1}^{n+1}=\\ i\psi_j^n-\frac12\frac{dt}{dx^2}\left(\psi_{j+1}^n-2\psi_j^n+\psi_{j-1}^n\right)+\frac12V_j\psi_j^n\tag{2}$$ iψ n + 1 $$\left(\begin{array}{ccccc}A_0 & A_- & 0 & 0 &\cdots\\ A_+ & A_0 & A_- & 0 &\cdots\\ 0 & A_+ & A_0 & A_- &\cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\psi_0^{n+1} \\ \psi_1^{n+1}\\ \vdots \\ \psi_{J-1}^{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\psi_0^{n} \\ \psi_1^{n}\\ \vdots \\ \psi_{J-1}^{n}\end{array}\right)$$ Это называется трехдиагональной матрицей и имеет известное решение (плюс рабочие примеры, включая один написан мной!). Явный метод вычеркивает всю левую часть (или я должен сказать верхнюю строку?) Уравнения (2), за исключением .$i\psi_j^{n+1}$

вопросы

Самая большая проблема, которую я обнаружил с неявными методами, заключается в том, что они сильно зависят от граничных условий. Если у вас плохо определены / реализованы граничные условия, вы можете получить ложные колебания в ваших ячейках, которые могут привести к плохим результатам (см. Мой пост SciComp на аналогичную тему). Это приводит к тому, что на самом деле в космосе должна быть точность 1-го порядка, а не 2-го, которую должна дать ваша схема .

Неявные методы также предположительно трудно распараллелить, но я использовал их только для одномерных уравнений теплопроводности и не нуждался в параллельной поддержке, поэтому я не могу ни подтвердить, ни опровергнуть утверждение.

Я также не уверен, как сложная природа волновой функции повлияет на вычисления. Работа, которую я проделал, использует уравнения гидродинамики Эйлера и, таким образом, полностью реальна с неотрицательными величинами.

Зависящий от времени потенциал

Если у вас есть аналитический потенциал, зависящий от времени (например, ), то вы просто используете текущее время для на RHS (2) и будущее время, , на LHS. Я не верю, что это создаст какие-либо проблемы, но я не проверял это, поэтому я не могу проверить или опровергнуть этот аспект тоже.t V j t + d $V\propto \cos(\omega t)$$t$$V_j$$t+dt$

альтернативы

Есть несколько интересных альтернатив методу Кранка-Николсона. Первый - это так называемый метод «супер-шагания во времени». В этом явном методе вы берете временной шаг ( ) и используете корни полиномов Чебышева, чтобы получить оптимизированный набор временных шагов, которые быстро суммируются с быстрее, чем выполнение шагов раз (эффективно вы получаете так что каждый шаг продвигает вас d t d t / N N Δ T = N 2 d t N N d $dt\propto dx^2$$dt$$dt/N$$N$$\Delta T=N^2dt$$N$$Ndt$во время). (Я использую этот метод в своем исследовании, потому что у вас есть четко определенный «поток» от одной ячейки к другой, который используется для объединения данных с одного процессора на другой, используя схему Кранка-Николсона, которую я не смог сделать это).

РЕДАКТИРОВАТЬ Следует отметить, что этот метод является точным во времени на первый порядок, но если вы будете использовать метод Рунге-Кутта 2 вместе, он даст вам точную схему 2-го порядка во времени.

Другой называется явным переменным направлением . Этот метод требует, чтобы у вас были известные и четко определенные граничные условия. Затем он приступает к решению уравнения, используя границу непосредственно в вычислении (нет необходимости применять его после каждого шага). Что происходит в этом методе, так это то, что вы решаете PDE дважды, один раз при восходящем и один раз при нисходящем. Восходящая развертка использует то время как нисходящая развертка использует для уравнения диффузии, в то время как другие члены не изменятся. Шаг по времени ∂2

$$\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}\approx\frac{\psi_{j-1}^{n+1}-\psi_j^{n+1}-\psi_j^n+\psi_{j+1}^n}{dx^2}$$ н+ $$\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}\approx\frac{\psi_{j+1}^{n+1}-\psi_j^{n+1}-\psi_j^n+\psi_{j-1}^n}{dx^2}$$ $n+1$ затем решается путем усреднения двух направленных разверток.

В начале 90-х мы искали метод, позволяющий решить TDSE достаточно быстро, чтобы выполнять анимацию в реальном времени на ПК, и наткнулся на удивительно простой, стабильный, явный метод, описанный П.Б. Висшером в книге « Компьютеры в физике» : « Быстрый явный алгоритм для нестационарного уравнения Шредингера ". Висшер отмечает, что если вы разделите волновую функцию на действительную и мнимую части, , SE станет системой:$\psi=R+iI$

$$\begin{eqnarray}\frac{dR}{dt}&=&HI \\ \frac{dI}{dt}&=&-HR \\ H&=&-\frac{1}{2m}\nabla^2+V\end{eqnarray}$$

Если вы затем вычислите и в шахматном порядке ( в и в , вы получите дискретизацию:$R$$I$$R$$0,\Delta t,2\Delta t,...$$I$$0.5\Delta t, 1.5\Delta t,...)$

$$R(t+\frac{1}{2} \Delta t)=R(t-\frac{1}{2} \Delta t)+\Delta t HI(t)$$

$$I(t+\frac{1}{2} \Delta t)=I(t-\frac{1}{2} \Delta t)-\Delta t HR(t)$$

с (стандартный трехточечный лапласиан).

$$\nabla^2\psi(r,t)=\frac{\psi(r+\Delta r,t)-2\psi(r,t)+\psi(r-\Delta r,t)}{\Delta r^2}$$

Это явно, очень быстро для вычисления и с точностью до второго порядка в .$\Delta t$

Определение плотности вероятности как

$$P(x,t)=R^2(x,t)+I(x,t+\frac{1}{2} \Delta t)I(x,t-\frac{1}{2} \Delta t)$$ с целыми временными шагами и,

$$P(x,t)=R(x,t+\frac{1}{2} \Delta t)R(x,t-\frac{1}{2} \Delta t)+I^2(x,t)$$ с шагом в целое время

делает алгоритм унитарным, тем самым сохраняя вероятность.

При достаточной оптимизации кода мы смогли получить очень хорошие анимации, рассчитанные в режиме реального времени на 80486 компьютерах. Студенты могут «нарисовать» любой потенциал, выбрать общую энергию и наблюдать за эволюцией гауссовского пакета во времени.

Ответ Кайла Каноса выглядит очень полным, но я решил добавить свой собственный опыт. Двухшаговый метод Фурье (SSFM) чрезвычайно прост в использовании; Вы можете создать его в нескольких строках Mathematica, и он чрезвычайно устойчив в численном отношении. Он включает в себя передачу только унитарных операторов в ваш набор данных, поэтому он автоматически сохраняет вероятность / мощность (последнее, если вы решаете с помощью уравнений Максвелла, что и лежит в моем опыте). Для одномерного уравнения Шредингера ( Е. Только вариации и ) оно очень быстро, даже как код Mathematica. И если вам нужно ускорить его, вам действительно нужен только хороший FFT-код на вашем целевом языке (мой опыт работы с C ++).$x$$t$

То, что вы будете делать, - это замаскированная версия метода распространения луча для оптического распространения через волновод с различным сечением (аналогично переменным во времени потенциалам), поэтому было бы полезно взглянуть и на это.

То, как я смотрю на SSFM / BPM, выглядит следующим образом. Его основой является формула произведения Троттера теории Ли:

$$\tag{1}\lim\limits_{m\to\infty}\left(\exp\left(\mathcal{D}\,\frac{t}{m}\right)\,\exp\left(\mathcal{V}\,\frac{t}{m}\right)\right)^m = \exp((\mathcal{D+V}) t)$$

который иногда называют операторным уравнением расщепления в этом контексте. Ваш набор данных представляет собой дискретную сетку или комплексных значений, представляющих в данный момент времени . Итак, вы представляете себе это (вам не нужно этого делать ; я все еще говорю концептуально) колоссальная сетка, записанная как вектор элементного столбца (для сетки у нас ), и тогда ваше уравнение Шредингера имеет вид:$x-y$$x-y-z$$\psi(x,y,z)$$t$$N$$\Psi$$1024\times1024$$N=1024^2=1\,048\,576$

$$\tag{2}\mathrm{d}_t \Psi = K\Psi = (\mathcal{D+V}(t)) \Psi$$

где - это косоэрмитова матрица , элемент , и будет отображаться с увеличением времени элементом одного группа параметров . (Я засосал фактор в на RHS, чтобы я мог более легко говорить в терминах теории Ли). Учитывая размер , естественная среда обитания операторов является полностью колоссальной группой Ли, поэтому PHEW! да я все еще говорю в чисто теоретических терминах! Теперь, что делает$K = \mathcal{D+V}$$N\times N$$\mathfrak{u}(N)$$\Psi$$\exp(K\,t)$$i\hbar$$K = \mathcal{D+V}$$N$$\mathfrak{U}(N)$$\mathcal{D+V}$выглядит как? Пока еще воображая, его можно представить как разностную версию , где - некоторый удобный «средний» потенциал для рассматриваемой задачи.$i\,\hbar\,\nabla^2/(2\,m) - i\hbar^{-1}V_0 + i\hbar^{-1}(V_0-V(x,y,z,t_0))$$V_0$

Мы позволяем:

$$\tag{3}\begin{array}{lcl}\mathcal{D} &=& i\frac{\hbar}{2\,m} \nabla^2 - i\hbar^{-1}V_0\\ \mathcal{V}&=&i\hbar^{-1}(V_0-V(x,y,z,t))\end{array}$$

Почему я разделил их так, станет ясно ниже.

Дело в том, что заключается в том, что он может быть аналитически разработан для плоской волны: это простой оператор умножения в координатах импульса. Итак, чтобы определить , вот первые три шага цикла SSFM / BPM:$\mathcal{D}$$\Psi\mapsto\exp(\Delta t\,\mathcal{D}) \Psi$

1. Передайте БПФ в набор данных чтобы преобразовать его в набор весов суперпозиции плоских волн: теперь координаты сетки были изменены с на ;$\Psi$$\tilde{\Psi}$$x,\,y,\,z$$k_x,\,k_y,\,k_z$
2. Передайте , просто умножив каждую точку на сетке на ;$\tilde{\Psi}\mapsto\exp(\Delta t\,\mathcal{D}) \tilde{\Psi}$$\exp(i\,\Delta t (V_0-k_x^2+k_y^2+k_z^2)/\hbar)$

3. Импортируйте обратное БПФ, чтобы отобразить нашу сетку обратно в$\exp(\Delta t\,\mathcal{D}) \Psi$

   . Теперь мы вернулись в позицию позиции. Конечно, это лучшая область для передачи оператора : здесь - простой оператор умножения. Итак, вот ваш последний шаг вашего алгоритмического цикла:$\mathcal{V}$$\mathcal{V}$

4. Передайте оператор , просто умножив каждую точку на сетке на фазовый фактор$\Psi\mapsto\exp(\Delta t\,\mathcal{V}) \Psi$$\exp(i\,\Delta t\,(V_0-V(x,y,z,t))/\hbar)$

.... и затем вы начинаете свой следующий шаг и цикл снова и снова. Ясно, что очень легко поместить изменяющиеся во времени потенциалы в код.$\Delta t$$V(x,y,z,t)$

Итак, вы видите, что вы просто выбираете достаточно маленьким, чтобы сработала формула Троттера (1): вы просто аппроксимируете действие оператора и вы перемещаетесь назад и вперед с помощью БПФ между координатами положения и импульса, то есть доменами, где и - простые операторы умножения.$\Delta t$$\exp(\mathcal{D+V}\,\Delta t)\approx\exp(\mathcal{D}\,\Delta t)\,\exp(\mathcal{V}\,\Delta t)$$\mathcal{V}$$\mathcal{D}$

Обратите внимание, что вы когда-либо передаете, даже в дискретном мире, только унитарные операторы: БПФ и чисто фазовые факторы.

Вы должны быть осторожны с одной точкой: когда ваш становится маленьким, вы также должны убедиться, что пространственный интервал сетки также уменьшается. В противном случае предположим, что пространственный интервал сетки равен . Тогда физический смысл одного дискретного шага состоит в том, что дифракционные эффекты распространяются со скоростью ; при моделировании уравнений Максвелла и волноводов необходимо убедиться, что эта скорость намного меньше, чем . Я полагаю, что ограничения применяются к уравнению Шредингера: у меня нет прямого опыта, но это звучит забавно, и, возможно, вы могли бы опубликовать свои результаты когда-нибудь!$\Delta t$$\Delta x$$\Delta x/\Delta t$$c$

Второй момент «опыта» с такими вещами - я почти готов поспорить, что именно так вы и будете следовать своим идеям. У нас часто бывают идеи, что мы хотим делать простые и быстрые и грязные симуляции, но это никогда не получается таким образом! Я бы начал с SSFM, как я описал выше, так как его очень легко запустить, и вы быстро увидите, являются ли его результаты физическими. Позже вы можете использовать свой, скажем, код Mathematica SSFM, чтобы проверить результаты более сложного кода, который, возможно, в конечном итоге выстроится, скажем, в коде Крэнка Николсона в соответствии с ответом Кайла Каноса .

---

Границы ошибок

Реализация формулы Дынкина теоремы Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа:

$$\exp(\mathcal{D}\Delta t)\,\exp(\mathcal{V})\Delta t) = \exp\left((\mathcal{D}+\mathcal{V})\Delta t + \frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,\Delta t^2 + \cdots\right)$$ сходящиеся для некоторого показывают, что метод точен на второй порядок и может показать, что:$\Delta t>0$

$$\exp(\mathcal{D}\Delta t)\,\exp(\mathcal{V})\Delta t)\,\exp\left(-\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,\Delta t^2\right) = \exp\left((\mathcal{D}+\mathcal{V})\Delta t + \mathcal{O}(\Delta t^3)\right)$$

Поэтому теоретически можно использовать термин чтобы оценить ошибку и установить вашу соответственно. Это не так просто, как кажется, и на практике оценки приводят к грубым оценкам ошибки. Проблема в том, что:$\exp(\mathcal{V})\Delta t)\,\exp\left(-\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,\Delta t^2\right)$$\Delta t$

$$\frac{\Delta t^2}{2}[\mathcal{D},\,\mathcal{V}] = -\frac{i\,\Delta t^2}{2\,m}\,\left(\partial_x^2 V(x,\,t) + 2 \partial_x V(x,\,t)\,\partial_x\right)$$

и нет легко преобразованных в координаты, где является простым оператором умножения. Таким образом, вы должны быть довольны и используйте это для оценки вашей ошибки, разработав для вашего в настоящее время развивается решение и используется для установки$[\mathcal{D},\,\mathcal{V}]$$\exp\left(-\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,\Delta t^2\right) \approx e^{-i\,\varphi\,\Delta t^2}\left(\mathrm{id} -\left(\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,-i\,\varphi(t)\right)\,\Delta t^2\right)$$\left(\mathrm{id} -\left(\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,-i\,\varphi(t)\right)\,\Delta t^2\right) \,\psi$$\psi(x,\,t)$$\Delta t$на лету после каждого цикла алгоритма. Конечно, вы можете сделать эти идеи основой для адаптивного контроллера размера шага для вашей симуляции. Здесь - глобальная фаза, извлеченная из набора данных для минимизации нормы ; Вы, конечно, часто можете отказаться от такой глобальной фазы: в зависимости от того, что вы делаете с результатами моделирования, нам часто не мешает постоянная глобальная фаза .$\varphi$$\left(\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,-i\,\varphi(t)\right)\,\Delta t^2$$\exp\left(\int \varphi\,\mathrm{d}t\right)$

Соответствующая статья об ошибках в SSFM / BPM:

Ларс Тилен. «Метод распространения луча: анализ его применимости», Оптическая и квантовая электроника 15 (1983), стр . 433-439 .

Ларс Тилен размышляет над ошибками в нелиевских теоретических терминах (группы Ли - моя склонность, поэтому мне нравится искать их толкования), но его идеи по сути такие же, как и выше.

Я могу рекомендовать использовать метод конечных разностей во временной области (FDTD). Некоторое время назад я даже написал учебник, который должен ответить на большинство ваших вопросов:

JR Nagel, "Обзор и применение конечно-разностного алгоритма во временной области, примененного к уравнению Шредингера", ACES Journal, Vol. 24, № 1, февраль 2009

У меня есть некоторые коды Matlab, которые хорошо работают для 1D систем. Если у вас есть опыт работы с FDTD с электромагнетизмом, он отлично работает и для квантовой механики. Я могу опубликовать свои коды, если вам интересно.

По сути, он просто воздействует на волновые функции напрямую, разбивая производные на конечные разности. Это похоже на схему Кранка-Николсона, но не совсем так. Если вы знакомы с FDTD из теории электромагнитных волн, то FDTD будет очень интуитивно понятен при решении уравнения Шредингера.

Самый простой метод конечных разностей является быстрым и легким для понимания, но не унитарным по времени, поэтому вероятность не сохраняется. Crank-Nicholson-Crout усредняет прямые и обратные методы конечных разностей, чтобы создать гибридный неявный / явный метод, который все еще довольно прост для понимания и реализации и является унитарным во времени. Этот сайт хорошо объясняет метод, предоставляет псевдокод и дает соответствующие свойства:

http://www.physics.utah.edu/~detar/phycs6730/handouts/crank_nicholson/crank_nicholson/ Примечание. В LHS уравнения одного из этих звеньев отсутствует знак, который распространяется по всей странице.

Откуда берется неунитарность?

В ореховой скорлупе решение TDSE сводится к выяснению, как бороться с

$| \psi(x,t)\rangle = e^{-iHt}|\psi(x,0)\rangle$

который содержит дифференциальный оператор в экспоненте.

Применение прямой конечной разности превращает дифференциальный оператор в трехдиагональную матрицу (преобразование вещественного числа в сетку), а экспонента - в первые два члена его ряда Тейлора.

$e^{-iHt}\approx1-iHt$

Эта дискретизация и линеаризация - вот что порождает неунитарность. (Вы можете показать, что трехдиагональная матрица не унитарна прямым вычислением.) Объединение прямой конечной разности с обратной конечной разностью дает приближение

$e^{-iHt}\approx \frac {1-\frac{1}{2} iHt} {1+\frac{1}{2} iHt}$

что, к счастью, является унитарным (опять же, вы можете показать это прямым вычислением).

Несколько ответов и комментариев здесь путают TDSE с волновым уравнением; возможно, проблема семантики, в некоторой степени. TDSE является квантованной версией классического нерелятивистского гамильтониана С правилами (как обсуждено в главе 1 d'Espagnat, Концептуальные основы квантовой механики, https://philpapers.org/rec/ESPCFO ), поэтому он читает поэтому это явно диффузионное уравнение. Если использовать релятивистскую энергию, которая содержит член E , то волновое уравнение, такое как

$$H=\frac{p^2}{2m} + V(x)= E.$$ $$p \rightarrow i\hbar\partial_x,\ \ E\rightarrow i\hbar\partial_t, \ \ x\rightarrow x,$$ $$\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\partial_{xx} + V(x)\right]\psi = i\hbar\partial_t\psi,$$ $^2$ $$\partial_{xx}\psi = \partial_{tt}\psi +\dots$$ (для простоты для V = 0), такие как уравнения Паули или Клейна-Гордона. Но это, конечно, совсем другое дело.

Теперь, возвращаясь к TDSE, очевидный метод - это Crank-Nicolson, как уже упоминалось, потому что это небольшое расширение, которое сохраняет унитарность эволюции (FTCS, например, нет). Для случая 1-пространства-D его можно рассматривать как матричную итерацию, читая с единичная матрица и (Подробности, например, в Численных методах для физики, http://algarcia.org/nummeth/nummeth.html , AL Garcia). Как наиболее ясно видно в периодических граничных условиях, локализованная в пространстве

$$\vec{\psi}^{n+1}=({\cal I} + \frac{i\tau}{2\hbar}\tilde{H})^{-1} ({\cal I} - \frac{i\tau}{2\hbar}\tilde{H})\vec{\psi}^{n}$$ ${\cal I}$ψψψs=eikx/ $$H_{jk}=(\tilde{H})_{jk}=\frac{-\hbar^{2}}{2m}\left[\frac{\delta_{j+1,k}+\delta_{j-1,k}-2\delta_{jk}}{h^{2}}\right]+V_{j}\delta_{jk}.$$ $\psi$ распространяется во времени: это ожидаемо, потому что начальная локализованная является не собственным состоянием стационарного уравнения Шредингера, а его суперпозицией. Собственное состояние (классическая массивная свободная частица) с фиксированным импульсом (для нерелятивистского кинетического оператора) просто , т.е. полностью делокализовано по принципу Гейзенберга с постоянной плотностью вероятности 1 / L везде (обратите внимание, что я избегаю проблем нормализации с состояниями континуума, поскольку моя частица живет на конечной, периодически повторяющейся линии). Используя CN, норма $\psi$ ∫| ψ | 2дхср=Есясℏ∂х=яℏ∂$\psi_s=e^{ikx}/\sqrt{L}$ $$\int |\psi|^2 dx$$ сохраняется благодаря унитарности (это не так в других схемах, таких как, например, FTCS). Кстати, обратите внимание, что, начиная с энергетической эспрессии, такой как с фиксированным , вы получите т.е. уравнение адвекции, которое не имеет дисперсии (если правильно интегрировано с Лакс-Вендрофф методы), и ваш волновой пакет не будет распространяться во времени в этом случае. Квантовым аналогом является уравнение Дирака без частиц. $$cp=E$$ $c$ $$ic\hbar\partial_x=i\hbar\partial_t$$