Основное объяснение функции формы

Я только начал изучать FEM в более структурированной основе по сравнению с тем, что я делал на курсах бакалавриата. Я делаю это потому, что, несмотря на то, что я могу использовать «FEM» в коммерческом (и другом некоммерческом) программном обеспечении, я бы хотел по-настоящему понять подпольные методы, которые поддерживают этот метод. Вот почему я прихожу сюда с таким, по крайней мере для опытного пользователя техники, базовым вопросом.

Сейчас я читаю довольно популярную (я думаю) и «дружественную к инженерам» книгу под названием «Метод конечных элементов - основы» от Zienkwicz. Я читал эту книгу с первой страницы, но пока не могу понять концепцию функции формы в том виде, в каком это объясняет Цинквич.

Из того, что я прочитал, я знаю, что матрица «жесткости», та, которая связывает неизвестные с результатом ( $A$ в: $Ak=b$ ), имеет свои компоненты из «отношений между узлами». и если это «отношение» изменится (т.е. если мы изменим его на интерполяцию более высокого порядка), то матрица жесткости изменится, потому что отношение между узлами изменится.

Но в этой книге определение для меня нечеткое, потому что в какой-то момент говорится, что вы можете произвольно выбрать функцию в качестве, т. Е. Единичной матрицы:

Единственное объяснение, которое я нашел, находится в этом блоге , но это все еще не так ясно для меня. Итак, кто-нибудь может дать мне простое и понятное объяснение, что такое функция Shape и как это делается, чтобы «поместить ее» в матрицу Stifness?

Я всегда находил подход к описанию методов конечных элементов, который фокусируется на дискретной линейной системе и работает излишне запутанно. Гораздо понятнее пойти другим путем, даже если вначале это связано с небольшим количеством математических обозначений (которые я постараюсь свести к минимуму).

Предположим, что вы пытаетесь решить уравнение для заданного f и неизвестного u , где A - линейный оператор, отображающий функции (например, описывающий смещение в каждой точке ( x , y $A u = f$$f$$u$$A$$(x,y)$ в области) в пространстве к функциям в другом пространстве (например, описывающим приложенные силы). Поскольку функциональное пространство V обычно бесконечномерно, эта система не может быть решена численно. Поэтому стандартный подход заключается в замене V на конечномерном подпространстве V ч и искать$V$$V$$V$$V_h$ удовлетворяющий A u h = f . Это все еще бесконечномерно из-за пространства диапазона (которое мы будем считать для простоты также V ), поэтому мы просто просим, ​​чтобы остаточный A u h - f ∈ V u h - f ) = 0 для каждого базисного вектора v h в V $u_h \in V_h$$Au_h = f$$V$$Au_h-f\in V$быть ортогональным к - или, что то же самое, что v T h ( $V_h$$v_h^T(Au_h-f) = 0$$v_h$$V_h$, Если мы теперь запишем как линейную комбинацию этих базисных векторов, мы получим линейную систему для неизвестных коэффициентов в этой комбинации. (Термины v T i A u j - это в точности записи матрицы жесткости K i j , а v T j f - записи вектора нагрузки. Если A - дифференциальный оператор, в некоторой точке обычно выполняется интегрирование по частям , но это не важно здесь.)$u_h$$v_i^TAu_j$$K_{ij}$$v_j^Tf$$A$

$V_h$$V_h$$V_h$$x$$y$$V_h$$\{\psi_j\}$$(0,0)$$(0,1)$$(1,0)$$\psi_j$$1$$0$

$V_h$

В инженерном подходе к FEM в структурной механике, как он представлен, вы теряете ощущение, что вы решаете уравнения с частными производными .

Они показывают вам эти матрицы, они придают некоторый физический смысл, и, на мой взгляд, это приводит вас к развитию сомнительной физической интуиции для поля.

Может быть полезно подумать об этом предмете с точки зрения геометрии. Решение краевой задачи для PDE имеет некоторую форму. В.И. Арнольд однажды сказал, восхваляя достижения Ньютона в этой области, перефразируя - он сделал удивительную вещь, создав область дифференциальных уравнений, позволив нам переформулировать задачи естественных наук в геометрические проблемы кривых на плоскости и поверхностей в пространстве.

В FEM вы аппроксимируете решение (в FD и FVM вы аппроксимируете управляющее уравнение).

Введите Бориса Глигорьевича Галеркина. Что сказал Б.Г. Галёркин?

Он сказал: « Я хочу, чтобы вы не могли создавать остатки с теми же базовыми функциями, которые вы использовали для создания решения. »

(PS Эта история совершенно не соответствует действительности, и я призываю своих читателей найти лучшее объяснение (Бубнову) методу Галеркина, если он существует.)

Основные функции или пробные функции - это те, которые вы используете для построения решения. Вы используете их, чтобы приблизить форму решения.

$Ku=f$ .

$Ku=f$

Самая важная вещь, которую нужно знать о «функциях формы», заключается в том, что они описывают, как зависимые переменные (переменные), которые вы хотите вычислить (например, смещение), изменяются как функция пространственных координат элемента (например, x и y) в терминах некоторые неизвестные скалярные параметры.

Часто функции формы являются простыми полиномами, а скалярные параметры являются значениями зависимых переменных в узлах элемента.

Формирование уравнений конечных элементов с использованием этих функций формы требует нескольких других фундаментальных понятий, таких как установление «слабой формы» уравнения в частных производных, которое вы пытаетесь решить.

Существует много ненужных «мистик», связанных с методом конечных элементов, поэтому я рекомендую вашему подходу попытаться получить полное понимание основ.

Мое мнение - в лекции 4 на http://www.math.tamu.edu/~bangerth/videos.html . В частности, он дает вам представление о том, почему мы выбираем те шляпные функции, которые мы обычно используем при использовании метода конечных элементов, а именно потому, что они приводят к важной концепции разреженности, даже если бы многие другие варианты базисных функций были бы одинаково действителен

С каждым элементом связана модель смещения, которая выражает изменение переменной поля (зависимой переменной) в терминах обобщенных коэффициентов и независимых переменных (x, y, z), например: 1D u (x) = a0 + a1x для 2-х узловой линейной элемент u (x) = a0 + a1x + a3x ^ 2 для 3-х узлового квадратичного элемента и так далее. Здесь ai s - обобщенные коэффициенты. Затем мы исключаем ai s и выражаем изменение переменной поля через функции формы и узловые значения переменной поля. Например: u (x) = N1 u1 + N2 u2 Функция, которая связывает изменение переменной поля с узловым значением переменной поля, называется «ФУНКЦИЯ ФОРМЫ». Количество функций формы будет зависеть от количества узлов и количества переменных на узел. Поэтому функции формы можно рассматривать как функции, которые обозначают вклад каждого узлового значения во внутренних точках элемента. Для двухузлового элемента В узле 1 вклад N1 равен единице, а вклад N2 равен нулю.

В узле 2 вклад N2 равен единице, а вклад N1 равен нулю.

В средней точке элемента оба узла имеют одинаковый вес или влияние. Таким образом, функции формы указывают не только то, как переменная поля изменяется в зависимости от элемента, но также и то, насколько сильно каждое узловое значение переменной поля имеет влияние на внутренние точки элемента. Счастливого обучения :)

Я также объяснил функции формы более подробно здесь: http://stochasticandlagrangian.blogspot.lt/2012/02/rayleigh-ritz-method-explained-for.html

Это объясняет шаг за шагом, визуально, как работает метод Рэлея-Ритца. Написание этой статьи, наконец, помогло мне понять функции формы.

согласно моему пониманию ... функции формы - это не что иное, как связь между полевыми переменными и узловыми точками.

Предположим, что наша земля находится под давлением внешних нагрузок, и наша земля собирается треснуть. аналитическим методом мы используем много формул и обнаруживаем, что в некоторой части (например, предположим, что на континенте Азия) земля треснет. Используя метод FEM, мы делим Землю на разные страны, штаты и города, объединяем каждый город и, наконец, объединяем все города, образуя один глобус под названием Земля. Функция shape является ключом, который обеспечивает мост между объединенными городами, чтобы сформировать государство и страну и, наконец, глобус. это ссылка, которая соединяет сетку. Как только это сделано, нагрузка приложена, и точное место может быть найдено, когда начинается трещина, и это может быть усилено.

надеюсь, это помогло тебе.

Что я понимаю о функциях формы, так это о соединении геометрических узловых координат со смещением Элемента с помощью одной и той же функции формы.

Рассмотрим одномерный случай. Бар с двумя узлами на нем заканчивается.

Когда я соединяю этот элемент с его узловыми координатами, я могу определить смещение в любой точке этого элемента с помощью функции интерполяции.

Таким образом, в основном функции формы - это приближения, которые мы делаем, чтобы найти деформацию в любой точке пространства достойным образом.

Функции формы - это функции, которые связывают смещение в любой точке элемента со смещением узлов элемента. График функции формы в зависимости от точки на элементе показывает деформированную «форму» элемента и, следовательно, название функции формы.