Как работает нотация bra-ket?


29

Квантовые алгоритмы часто используют обозначения Брекет в своем описании. Что означают все эти скобки и вертикальные линии? Например: |ψ=α|0+β|1

Хотя это, возможно, вопрос о математике, этот тип обозначений, по-видимому, часто используется, когда речь идет конкретно о квантовых вычислениях. Я не уверен, что когда-либо видел это в других контекстах.


редактировать

Под последней частью я подразумеваю, что можно обозначать векторы и внутренние произведения, используя стандартные обозначения для линейной алгебры, а некоторые другие поля, в которых используются эти объекты и операторы, делают это без использования обозначений Брекет.

Это приводит меня к выводу, что есть некоторая разница / причина, по которой Брэкет особенно удобен для обозначения квантовых алгоритмов. Это не утверждение факта, я имел в виду это как наблюдение. «Я не уверен, что видел его в другом месте» - это не то же самое, что «Он не используется ни в каком другом контексте».


3
Связанный: Как к TEX нотации bra-ket на Мете.
Nat

Ответы:


18

Как уже объяснили другие, кет - это просто вектор. Бюстгальтерэрмитово сопряженное вектора. Вы можете умножить вектор на число обычным способом.г | ||ψ ψ|

Теперь самое интересное: вы можете записать скалярное произведение двух векторов и как .| ф ф|ψ|ϕϕ|ψ

Вы можете применить оператор к вектору (в конечных измерениях это просто умножение матриц) .X|ψ

В целом, обозначения очень удобны и интуитивно понятны. Для получения дополнительной информации см. Статью в Википедии или учебник по квантовой механике.


"Бюстгальтер - это эрмитово сопряженное". Что такое эрмитово сопряжение вектора? И является ли только внутренним произведением векторов и ? ф г | фϕ|ψϕψϕψ
Девеларист

Существует два вида векторов, векторы столбцов и векторы строк. Эрмитово сопряженное вектора-столбца - это вектор-строка со комплексно-сопряженными элементами, и наоборот.
jknappen - Восстановить Монику

сложные сопряженные элементы?
Девеларист

Элементы как в матричных элементах. Вы также можете использовать термин «компоненты», который более обычен, когда речь идет о векторах.
jknappen - Восстановить Монику

1
Да, ϕ|ψ является скалярным произведением , но векторное пространство является сложным, поэтому формула , обратите внимание на крестик для эрмитового конъюгата, это не просто транспонированное. ϕψ
jknappen - Восстановить Монику

20

Вы могли бы думать о и | 1 как два ортонормированного базиса состояния (представленные «КЭТ» ами) вквантового битакоторый постоянно находится в двумерном комплексном векторном пространстве. Линии и скобки, которые вы видите, - это в основномнотацияБрекет, известная также какнотация Дирака,которая обычно используется в квантовой механике.|0|1

Как пример может представлять спин-вниз состояния электрона в то время как | 1 может представлять состояние спин-вверх. Но на самом деле электрон может быть в виде линейной суперпозиции этих двух состояний т.е. | г | электрон = | 0 + б | 1 |0|1|ψelectron=a|0+b|1 (это обычно нормализуется как | 0 + б | 1 a|0+b|1|a|2+|b|2 ) где , б С .a,bC


16

Что означают все эти скобки и вертикальные линии?

Запись означает точно то же самое V или V , т.е. обозначает вектор, имя которого «v». Вот и все. Больше нет никакой тайны или магии. Символ | г | обозначает вектор называется «пси».|vvv|ψ

Символ называется «кет», но он мог бы так же хорошо (и , по моему мнению , должно) быть назван «вектор» абсолютно без потери смысла.|

Хотя это, возможно, вопрос о математике, этот тип обозначений, по-видимому, часто используется, когда речь идет конкретно о квантовых вычислениях. Я не уверен, что когда-либо видел это в других контекстах.

Запись была изобретена физиком ( Пол Дирак ) и называется «нотация Дирака» или «нотация Бракета» . Насколько я знаю, Дирак, вероятно, изобрел его при изучении квантовой механики, и поэтому исторически нотация в основном использовалась для обозначения векторов, которые проявляются в квантовой механике, то есть квантовых состояний. Нотация Брэка является стандартом в любом контексте квантовой механики, а не только в квантовых вычислениях. Например, уравнение Шредингера , которое имеет отношение к динамике в квантовых системах и предшествует квантовым вычислениям на десятилетия, написано с использованием обозначений Брекет.

Кроме того, обозначения довольно удобны в других контекстах линейной алгебры и используются вне квантовой механики.


12

Это приводит меня к выводу, что есть некоторая разница / причина, по которой Брэкет особенно удобен для обозначения квантовых алгоритмов.

Уже есть принятый ответ и ответ, который объясняет «кет», «бюстгальтер» и обозначение скалярного произведения.

Я постараюсь добавить немного больше к выделенной записи. Что делает это полезным / удобным обозначением?

Первое, для чего в действительности часто используют обозначения Брэка, это очень просто обозначить собственные векторы (обычно эрмитова) оператора, связанного с собственным значением. Предположим, что у нас есть уравнение собственного значения , его можно обозначить как A | А , = А , | А , , и , возможно , некоторые дополнительные этикетки к , если есть вырождение | λ , к = λ | λ , к .A(v)=λvA|λ=λ|λkA|λ,k=λ|λ,k

Вы видите, что это используется во всей квантовой механике, собственные импульсы имеют тенденцию быть помечены как или | р в зависимости от единиц, или с несколькими состояниями частиц | p 1 , p 2 , p 3 ; представление чисел занятости для систем бозе и ферми многих систем организма | n 1 , n 2 , ; спиновая половина частицы, принимающая собственные состояния обычно из S z|k|p|p1,p2,p3|n1,n2,Szоператор, иногда записывается как И | - или | |+| И | | т. Д. Как сокращение для | & Plusmn ; / 2 ; сферические гармоники как собственные функции функций L 2 и L z удобно записать в виде | л , м с л = 0 , 1 , 2 , ... и т = - л , - л + 1 , ... , л - 1 , л .||±/2L2Lz|l,ml=0,1,2,m=l,l+1,,l1,l.

Таким образом, удобство нотации - это одно, но есть также своего рода чувство «лего» для алгебраических манипуляций с дираковской нотацией, например, возьмем оператор спина в нотации дирака как S x = Sx, воздействуя на состояние, подобное| один просто делаетSx=2(||+||)|

Sx|=2(||+||)|=2|↓∣↑+2|↑∣↑=2|

так как и = 0 .↑∣↑=1↓∣↑=0

Что делает его удобным для квантовых алгоритмов?

Скажем, у нас есть подходящая двухуровневая система для кубита; это образует двумерное комплексное векторное пространство скажем, чей базис обозначается как | 0 и | 1 . Когда мы рассматриваем, скажем, n кубитов этого вида, состояния системы живут в большем пространстве пространства тензорных произведений, V n . Обозначения Дирака здесь могут быть весьма удобны, базовые состояния будут помечены цепочками из нулей и единиц, а один обычно обозначает состояние, например | 1 | 0 | 0 | 1 |V|0|1nVn , и чтонас есть немного флип оператор X я , который переставляет 1 0 на I «й бит, это может действоватьа просто на вышеуказанных строкнапример , X 3 | 1001 = | 1011 ивзяв сумму операторов или действующих на суперпозиции состояний работает точножекак просто.|1|0|0|1|1001Xi10iX3|1001=|1011

Небольшая осторожность: состояние записывается как не всегда означает | | б , например , когда у Вас есть два одинаковые фермионы с волновыми функциями говорят φ K 1 ( R 1 ) и ф к 2 ( г 2 ) , с этикетками индексации некоторых базисный набора, то можно было бы записать Slater определителя состояние из фермионы 1|a,b|a|bϕk1(r1)ϕk2(r2)в сокращении как| φK1,φк2или даже| к1,к2| к1

12(ϕk1(r1)ϕk2(r2)ϕk1(r2)ϕk2(r1))
|ϕk1,ϕk2 .|k1,k2|k1|k2

8

Кет обозначения означает вектор в любой вектор пространства мы работаем над , в таких , как пространство всех комплексных линейных комбинаций из восьми 3-битовых строк 000 , 001 , 010 , и т.д. , как мы могли бы использовать для представления состояний квантовый компьютер. Unadorned ψ означает то же самое - | г | кет нотация полезно частично подчеркнуть , что, например, | 010 является элементом векторного пространства , представляющего интерес, а отчасти из- за его остроумие в сочетании с бюстгальтером нотации.|ψ000001010ψ|ψ|010

Бюстгальтер обозначения означает двойной вектор или ковектор - линейный функционал или линейное отображение из векторов в скаляры, значение которых в векторе | ф является скалярное произведение в ф с ф , симпатично написано г | | ф . Здесь мы предполагаем существование внутреннего произведения, которое не дано в произвольных векторных пространствах, но в квантовой физике мы обычно работаем в гильбертовых пространствах, которые по определению имеют внутреннее произведение. Двойственный вектор иногда также называют егоψ||ϕψϕψ|ϕ(Эрмитово) транспонировать , потому что в матричном представлении вектор соответствует столбцу, а ковектор - строке, а когда вы умножаете вы получаете скаляр. (Эрмитова часть означает, что в дополнение к транспонированию матрицы мы берем комплексное сопряжение ее элементов, которое на самом деле просто транспонирует матричное представление [ a b - b a ] комплексного числа a + b i .)row×column[abba]a+bi

Когда написано иначе, , Вы получаете внешний продукт из ф с ф , определяемый как линейное преобразование векторного пространства в себя заданной | & thetas ; ( ф | & thetas ; ) | г | . То есть, учитывая вектор θ , он масштабирует вектор ф скалярной задается скалярное произведение ф | & thetas ; |ψϕ|ψϕ|θ(ϕ|θ)|ψθψϕ|θ, Так как операции в вопросе являются ассоциативными, мы можем удалить скобки и однозначно пишут Однако используемые операции не являются коммутативными в целом: изменение порядка приводит к комплексному сопряжению

(|ψϕ|)|θ=|ψϕ|θ=ϕ|θ|ψ=(ϕ|θ)|ψ.
, иликачестве оценки линейного функционала , заменив a + b i на a - b i . Там могут бытьдругие преобразования пространствучаствующих брошено в смеси тоже, какф | A | ф , который может быть прочитан эквивалентно как precomposition линейного функционалаф | линейным преобразованием A , примененным к вектору | ф ψ|ϕ=ϕ|ψa+biabiψ|A|ϕψ|A|ϕна вектор, полученный преобразованием | ф с помощью линейного преобразования A .ψ||ϕA

Обозначения используются в основном в квантовой физике; математики, как правило, просто пишут где физики могут писать | г | ; ψ * для ковектора ψ | ; либо г | , ф или г | * ф для внутреннего продукта; и ψ * φ для каких физиков будет фиксировать с помощью ф | A | ф .ψ|ψψψ|ψ,ϕψϕψAϕψ|A|ϕ

Используя наш сайт, вы подтверждаете, что прочитали и поняли нашу Политику в отношении файлов cookie и Политику конфиденциальности.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.