Как работает нотация bra-ket?

Квантовые алгоритмы часто используют обозначения Брекет в своем описании. Что означают все эти скобки и вертикальные линии? Например: $|ψ⟩=α|0⟩+β|1⟩$

Хотя это, возможно, вопрос о математике, этот тип обозначений, по-видимому, часто используется, когда речь идет конкретно о квантовых вычислениях. Я не уверен, что когда-либо видел это в других контекстах.

---

редактировать

Под последней частью я подразумеваю, что можно обозначать векторы и внутренние произведения, используя стандартные обозначения для линейной алгебры, а некоторые другие поля, в которых используются эти объекты и операторы, делают это без использования обозначений Брекет.

Это приводит меня к выводу, что есть некоторая разница / причина, по которой Брэкет особенно удобен для обозначения квантовых алгоритмов. Это не утверждение факта, я имел в виду это как наблюдение. «Я не уверен, что видел его в другом месте» - это не то же самое, что «Он не используется ни в каком другом контексте».

Как уже объяснили другие, кет - это просто вектор. Бюстгальтерэрмитово сопряженное вектора. Вы можете умножить вектор на число обычным способом.⟨ г | $\left|\psi\right>$ $\left<\psi\right|$

Теперь самое интересное: вы можете записать скалярное произведение двух векторов и как .| ф ⟩ ⟨ $\left|\psi\right>$$\left|\phi\right>$$\left<\phi\middle|\psi\right>$

Вы можете применить оператор к вектору (в конечных измерениях это просто умножение матриц) .$X\left|\psi\right>$

В целом, обозначения очень удобны и интуитивно понятны. Для получения дополнительной информации см. Статью в Википедии или учебник по квантовой механике.

Вы могли бы думать о и | 1 ⟩ как два ортонормированного базиса состояния (представленные «КЭТ» ами) вквантового битакоторый постоянно находится в двумерном комплексном векторном пространстве. Линии и скобки, которые вы видите, - это в основномнотацияБрекет, известная также какнотация Дирака,которая обычно используется в квантовой механике.$|0\rangle$$|1\rangle$

Как пример может представлять спин-вниз состояния электрона в то время как | 1 ⟩ может представлять состояние спин-вверх. Но на самом деле электрон может быть в виде линейной суперпозиции этих двух состояний т.е. | г | ⟩ электрон = | 0 ⟩ + б | 1 $|0\rangle$$|1\rangle$$|\psi\rangle_{\text{electron}} = a|0\rangle + b|1\rangle$ (это обычно нормализуется как | 0 ⟩ + б | 1 ⟩$\frac{a|0\rangle + b|1\rangle}{\sqrt{|a|^2+|b|^2}}$ ) где , б ∈ С .$a,b\in \Bbb{C}$

Что означают все эти скобки и вертикальные линии?

Запись означает точно то же самое → V или V , т.е. обозначает вектор, имя которого «v». Вот и все. Больше нет никакой тайны или магии. Символ | г | ⟩ обозначает вектор называется «пси».$\left \lvert v \right \rangle$$\vec{v}$$\textbf{v}$$\left \lvert \psi \right \rangle$

Символ называется «кет», но он мог бы так же хорошо (и , по моему мнению , должно) быть назван «вектор» абсолютно без потери смысла.$\left \lvert \cdot \right \rangle$

Хотя это, возможно, вопрос о математике, этот тип обозначений, по-видимому, часто используется, когда речь идет конкретно о квантовых вычислениях. Я не уверен, что когда-либо видел это в других контекстах.

Запись была изобретена физиком ( Пол Дирак ) и называется «нотация Дирака» или «нотация Бракета» . Насколько я знаю, Дирак, вероятно, изобрел его при изучении квантовой механики, и поэтому исторически нотация в основном использовалась для обозначения векторов, которые проявляются в квантовой механике, то есть квантовых состояний. Нотация Брэка является стандартом в любом контексте квантовой механики, а не только в квантовых вычислениях. Например, уравнение Шредингера , которое имеет отношение к динамике в квантовых системах и предшествует квантовым вычислениям на десятилетия, написано с использованием обозначений Брекет.

Кроме того, обозначения довольно удобны в других контекстах линейной алгебры и используются вне квантовой механики.

Это приводит меня к выводу, что есть некоторая разница / причина, по которой Брэкет особенно удобен для обозначения квантовых алгоритмов.

Уже есть принятый ответ и ответ, который объясняет «кет», «бюстгальтер» и обозначение скалярного произведения.

Я постараюсь добавить немного больше к выделенной записи. Что делает это полезным / удобным обозначением?

Первое, для чего в действительности часто используют обозначения Брэка, это очень просто обозначить собственные векторы (обычно эрмитова) оператора, связанного с собственным значением. Предположим, что у нас есть уравнение собственного значения , его можно обозначить как A | А , ⟩ = А , | А , ⟩ , и , возможно , некоторые дополнительные этикетки к , если есть вырождение | λ , к ⟩ = λ | λ , к ⟩ .$A(v)=\lambda v$$A\left|\lambda\right\rangle=\lambda \left|\lambda\right\rangle$$k$$A\left|\lambda,k\right\rangle=\lambda \left|\lambda,k\right\rangle$

Вы видите, что это используется во всей квантовой механике, собственные импульсы имеют тенденцию быть помечены как или | → р ⟩ в зависимости от единиц, или с несколькими состояниями частиц | → p 1 , → p 2 , → p 3 … ⟩ ; представление чисел занятости для систем бозе и ферми многих систем организма | n 1 , n 2 , … ⟩ ; спиновая половина частицы, принимающая собственные состояния обычно из S $\left|\vec{k}\right\rangle$$\left|\vec{p}\right\rangle$$\left|\vec{p}_1,\vec{p}_2,\vec{p}_3\ldots\right\rangle$$\left|n_1,n_2,\ldots\right\rangle$$S_z$оператор, иногда записывается как И | - ⟩ или | $\left|+\right\rangle$$\left|-\right\rangle$ И | $\left|\uparrow\,\right\rangle$ т. Д. Как сокращение для | & Plusmn ; ℏ / 2 ⟩ ; сферические гармоники как собственные функции функций L 2 и L z удобно записать в виде | л , м ⟩ с л = 0 , 1 , 2 , ... и т = - л , - л + 1 , ... , л - 1 , л $\left|\downarrow\,\right\rangle$$\left|\pm \hbar/2\right\rangle$$L^2$$L_z$$\left|l,m\right\rangle$$l=0,1,2,\ldots$$m=-l,-l+1,\ldots,l-1,l.$

Таким образом, удобство нотации - это одно, но есть также своего рода чувство «лего» для алгебраических манипуляций с дираковской нотацией, например, возьмем оператор спина в нотации дирака как S x = $S_x$, воздействуя на состояние, подобное| ↑⟩один просто делает$S_x=\frac{\hbar}{2}(\left|\uparrow\right\rangle\left\langle\downarrow\right|+\left|\downarrow\right\rangle\left\langle\uparrow\right|)$$\left|\uparrow\right\rangle$

$$S_x\left|\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left(\left|\uparrow\rangle\langle\downarrow\right|+\left|\downarrow\rangle\langle\uparrow\right|\right)\left|\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left|\uparrow\rangle\langle\downarrow\mid\uparrow\right\rangle+\frac{\hbar}{2}\left|\downarrow\rangle\langle\uparrow\mid\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left|\downarrow\right\rangle$$

так как и ⟨ ↓ ∣ ↑ ⟩ = 0 .$\left\langle\uparrow\mid\uparrow\right\rangle=1$$\left\langle\downarrow\mid\uparrow\right\rangle=0$

Что делает его удобным для квантовых алгоритмов?

Скажем, у нас есть подходящая двухуровневая система для кубита; это образует двумерное комплексное векторное пространство скажем, чей базис обозначается как | 0 ⟩ и | 1 ⟩ . Когда мы рассматриваем, скажем, n кубитов этого вида, состояния системы живут в большем пространстве пространства тензорных произведений, V ⊗ n . Обозначения Дирака здесь могут быть весьма удобны, базовые состояния будут помечены цепочками из нулей и единиц, а один обычно обозначает состояние, например | 1 ⟩ ⊗ | 0 ⟩ ⊗ | 0 ⟩ ⊗ | 1 ⟩ $V$$\left|0\right\rangle$$\left|1\right\rangle$$n$$V^{\otimes n}$ , и чтонас есть немного флип оператор X я , который переставляет 1 ↔ 0 на I «й бит, это может действоватьа просто на вышеуказанных строкнапример , X 3 | 1001 ⟩ = | 1011 ⟩ ивзяв сумму операторов или действующих на суперпозиции состояний работает точножекак просто.$\left|1\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle\otimes\left|1\right\rangle\equiv\left|1001\right\rangle$$X_i$$1\leftrightarrow 0$$i$$X_3\left|1001\right\rangle=\left|1011\right\rangle$

Небольшая осторожность: состояние записывается как не всегда означает | ⟩ ⊗ | б ⟩ , например , когда у Вас есть два одинаковые фермионы с волновыми функциями говорят φ K 1 ( → R 1 ) и ф к 2 ( → г 2 ) , с этикетками индексации некоторых базисный набора, то можно было бы записать Slater определителя состояние из фермионы $\left|a,b\right\rangle$$\left|a\right\rangle\otimes\left|b\right\rangle$$\phi_{k_1}(\vec{r}_1)$$\phi_{k_2}(\vec{r}_2)$в сокращении как| φK1,φк2⟩или даже| к1,к2⟩≠| к1

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\phi_{k_1}(\vec{r}_1)\phi_{k_2}(\vec{r}_2)-\phi_{k_1}(\vec{r}_2)\phi_{k_2}(\vec{r}_1)\right)$$ $\left|\phi_{k_1},\phi_{k_2}\right\rangle$ .$\left|k_1,k_2\right\rangle\neq \left|k_1\right\rangle\otimes \left|k_2\right\rangle$

Кет обозначения означает вектор в любой вектор пространства мы работаем над , в таких , как пространство всех комплексных линейных комбинаций из восьми 3-битовых строк 000 , 001 , 010 , и т.д. , как мы могли бы использовать для представления состояний квантовый компьютер. Unadorned ψ означает то же самое - | г | ⟩ кет нотация полезно частично подчеркнуть , что, например, | 010 ⟩ является элементом векторного пространства , представляющего интерес, а отчасти из- за его остроумие в сочетании с бюстгальтером нотации.$|\psi\rangle$$000$$001$$010$$\psi$$|\psi\rangle$$|010\rangle$

Бюстгальтер обозначения означает двойной вектор или ковектор - линейный функционал или линейное отображение из векторов в скаляры, значение которых в векторе | ф ⟩ является скалярное произведение в ф с ф , симпатично написано ⟨ г | | ф ⟩ . Здесь мы предполагаем существование внутреннего произведения, которое не дано в произвольных векторных пространствах, но в квантовой физике мы обычно работаем в гильбертовых пространствах, которые по определению имеют внутреннее произведение. Двойственный вектор иногда также называют его$\langle\psi|$$|\phi\rangle$$\psi$$\phi$$\langle\psi|\phi\rangle$(Эрмитово) транспонировать , потому что в матричном представлении вектор соответствует столбцу, а ковектор - строке, а когда вы умножаете вы получаете скаляр. (Эрмитова часть означает, что в дополнение к транспонированию матрицы мы берем комплексное сопряжение ее элементов, которое на самом деле просто транспонирует матричное представление [ a b - b a ] комплексного числа a + b i .)$\mathrm{row} \times \mathrm{column}$$\scriptstyle\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}$$a + b i$

Когда написано иначе, , Вы получаете внешний продукт из ф с ф , определяемый как линейное преобразование векторного пространства в себя заданной | & thetas ; ⟩ ↦ ( ⟨ ф | & thetas ; ⟩ ) | г | ⟩ . То есть, учитывая вектор θ , он масштабирует вектор ф скалярной задается скалярное произведение ⟨ ф | & thetas ; $|\psi\rangle\langle\phi|$$\psi$$\phi$$|\theta\rangle \mapsto (\langle\phi|\theta\rangle) |\psi\rangle$$\theta$$\psi$$\langle\phi|\theta\rangle$, Так как операции в вопросе являются ассоциативными, мы можем удалить скобки и однозначно пишут Однако используемые операции не являются коммутативными в целом: изменение порядка приводит к комплексному сопряжению

$$(|\psi\rangle\langle\phi|)|\theta\rangle = |\psi\rangle\langle\phi|\theta\rangle = \langle\phi|\theta\rangle|\psi\rangle = (\langle\phi|\theta\rangle)|\psi\rangle.$$ , иликачестве оценки линейного функционала , заменив a + b i на a - b i . Там могут бытьдругие преобразования пространствучаствующих брошено в смеси тоже, как ⟨ ф | A | ф ⟩ , который может быть прочитан эквивалентно как precomposition линейного функционала ⟨ ф | линейным преобразованием A , примененным к вектору | ф $\langle\psi|\phi\rangle = \langle\phi|\psi\rangle^*$$a + b i$$a - b i$$\langle\psi|A|\phi\rangle$$\langle\psi|$$A$$|\phi\rangle$на вектор, полученный преобразованием | ф ⟩ с помощью линейного преобразования A .$\langle\psi|$$|\phi\rangle$$A$

Обозначения используются в основном в квантовой физике; математики, как правило, просто пишут где физики могут писать | г | ⟩ ; ψ * для ковектора ⟨ ψ | ; либо ⟨ г | , ф ⟩ или г | * ф для внутреннего продукта; и ψ * φ для каких физиков будет фиксировать с помощью ⟨ ф | A | ф ⟩ .$\psi$$|\psi\rangle$$\psi^*$$\langle\psi|$$\langle\psi,\phi\rangle$$\psi^*\phi$$\psi^*A\phi$$\langle\psi|A|\phi\rangle$