Что именно означает «шум» в следующем контексте?

Усиленная версия тезиса Черча-Тьюринга гласит:

Любой алгоритмический процесс может быть эффективно смоделирован с использованием машины Тьюринга.

Теперь, на странице 5 (глава 1), книга « Квантовые вычисления и квантовая информация: издание 10-й годовщины» Майкла А. Нильсена, Исаак Л. Чуанг, продолжает, что:

Один класс вызовов сильному тезису Черч-Тьюринга исходит из области аналоговых вычислений . За годы, прошедшие после Тьюринга, многие команды исследователей заметили, что некоторые типы аналоговых компьютеров могут эффективно решать проблемы, которые, как считается, не имеют эффективного решения на машине Тьюринга. На первый взгляд, эти аналоговые компьютеры нарушают сильную форму тезиса Черча-Тьюринга. К сожалению, для аналоговых вычислений оказывается, что, когда сделаны реалистичные предположения о наличии шума в аналоговых компьютерах, их мощность исчезает во всех известных случаях; они не могут эффективно решать проблемы, которые невозможно решить на машине Тьюринга. Этот урок - это эффекты реалистичного шуманеобходимо принимать во внимание при оценке эффективности вычислительной модели - это была одна из самых больших ранних задач квантовых вычислений и квантовой информации, задача, успешно решенная путем разработки теории квантовых кодов, исправляющих ошибки, и отказоустойчивых квантовых вычислений , Таким образом, в отличие от аналоговых вычислений, квантовые вычисления в принципе могут выдерживать ограниченное количество шума и при этом сохранять свои вычислительные преимущества.

Что именно подразумевается под шумом в этом контексте? Они имеют в виду тепловой шум ? Странно, что авторы не определили или не уточнили, что они подразумевают под шумом на предыдущих страницах учебника.

Мне было интересно, имели ли они в виду шум в более обобщенной обстановке. Например, даже если мы избавимся от обычного шума, такого как промышленный шум , вибрационный шум , тепловой шум (или уменьшим их до незначительных уровней), шум все равно может относиться к неопределенности в амплитуде, фазе и т. Д., Которые возникают из-за квантово-механическая природа системы.

В дополнение к ответу Ната , стоит упомянуть, что «шум» - это особая концепция ¹ в квантовых вычислениях. Этот ответ будет использоваться в качестве основы для лекций Preskill .

По сути, шум действительно считается тем, что можно описать как «тепловой шум», хотя следует отметить, что это взаимодействие с тепловой средой, вызывающей шум, а не шум сам по себе. Аппроксимации сделаны, что означает, что этот шум может быть описан с использованием квантовых каналов, на что, похоже, ссылаются Нильсен и Чуанг , обсуждая это в главе 8.3 того же учебника. Наиболее распространенные типы шума, описанные таким образом: деполяризация, дефазировка и демпфирование амплитуды, которые будут очень кратко объяснены ниже.

Чуть более подробно ²

Начнет с системой с гильбертовым пространством $\mathcal{H}_S$ , в сочетании с (тепловым) ванен с гильбертовым пространством $\mathcal{H}_B$ .

Возьмите матрицу плотности системы и «разложите ее» на куски $\rho\left(t + n\,\delta t\right)$ . Сделайте предположение, что взаимодействие является марковским, то есть среда «забывает» намного быстрее, чем время крупного зерна, и что все, что вы пытаетесь наблюдать, происходит в течение времени, намного превышающего время крупного зерна.

Выразите матрицу плотности при $t+\delta t$ как канал, действующий на матрицу плотности в момент времени $t$ : $\rho\left(t + \delta t\right) = \varepsilon_{\delta t}\left(\rho\left(t\right)\right)$ .

Разложите это до первого порядка по $\delta t$ чтобы получить $\varepsilon_{\delta t} = \mathrm{I} + \delta t\,\mathcal{L}$ . Как канал, он должен быть полностью положительным и сохранять след, поэтому$\varepsilon_{\delta t}\left(\rho\left(t\right)\right) = \sum_aM_a\rho\left(t\right)M_a^\dagger$ и удовлетворяет$\sum_aM_a^\dagger M_a = \mathrm{I}$ .

Это дает неунитарный квантовый канал, описываемый уравнением Линдблада-Мастера

$$\dot\rho = -i\left[H, \rho\right] + \sum_{a>0} \gamma_a\left(L_a\rho L_a^\dagger - \frac{1}{2}\lbrace L^\dagger_aL_a, \rho\rbrace\right),$$ где$\gamma_a$'s всегда положительны для марковской эволюции.

Это также можно записать как $H_{\mathrm{eff}} = H - \frac{i}{2}\sum_a\gamma_aL_a^{\dagger}L_a$с дополнительным слагаемым, так что эволюция может быть записана как

$$\dot\rho = -i\left[H_{\text{eff}}, \rho\right] + \sum_{a>0} \gamma_aL_a\rho L_a^\dagger.$$

Теперь это выглядит эквивалентным представлению канала оператора Крауса с операторами Крауса $K_a \propto L_a$ (а также дополнительным оператором Крауса для удовлетворения $\left[H_{\text{eff}}, \rho\right]$ ). Любой нетривиальный линдбладиан может быть описан как шум, хотя на самом деле это приближение эволюции открытой системы.

Некоторые распространенные типы шума ³

Испытание различных различных форм $L_a$ дает различные варианты поведения системы, которые дают разные возможные шумы, из которых есть несколько общих (в любом случае, в случае одного кубита):

1. дефазировка : систему - это избавляет / уменьшает запутывание (то есть когерентность) системы, обязательно делая ее более смешанной, если она уже не максимально смешана

   $$\varepsilon\left(\rho\right) = \left(1-\frac{p}{2}\right)\rho + \frac{1}{2}\sigma_z\rho\sigma_z$$

2. Деполяризация : при измерении с некоторой вероятностью ε ( ρ ) произойдет либо переворот бита ( $\sigma_x$ ), либо переворот фазы ( $\sigma_z$ ), либо бит и фаза ( $\sigma_y$ )

   $$\varepsilon\left(\rho\right) = \left(1-p\right)\rho + \frac{p}{3}\left(\sigma_x\rho\sigma_x + \sigma_y\rho\sigma_y + \sigma_z\rho\sigma_z\right)$$

3. Амплитуда демпфирования : представляет систему, распадающуюся от $\lvert 1\rangle$ к $\lvert 0\rangle$ , например, когда атом испускает фотон. Приводит к простой версии времени когерентности $T_1$ (распад $\lvert 1\rangle$ к $\lvert 0\rangle$ ) и $T_2$ (распад недиагональ- точки). Описывается операторами Крауса

   $$M_0 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & \sqrt{1-p}\end{pmatrix} \text{ and } M_1 = \begin{pmatrix}0 & \sqrt{p} \\ 0 & 0\end{pmatrix},$$ давая $$\varepsilon\left(\rho\right) = M_0\rho M_0^\dagger + M_1\rho M_1^\dagger$$

---

^{1 Вернее, несколько очень широких концепций, вытекающих из одной и той же фундаментальной идеи.}

^{2 Я бы не стал называть это строгим или что-то}

^{3 В этом контексте, естественно,}

К сожалению, для аналоговых вычислений оказывается, что, когда сделаны реалистичные предположения о наличии шума в аналоговых компьютерах, их мощность исчезает во всех известных случаях; они не могут эффективно решать проблемы, которые невозможно решить на машине Тьюринга.

" Шум », по-видимому, используется в общем смысле неидеальности в сигнале:

При обработке сигнала шум является общим термином для нежелательных (и, как правило, неизвестных) модификаций, которые сигнал может подвергаться во время захвата, хранения, передачи, обработки или преобразования. ^[1]

Иногда слово также используется для обозначения сигналов, которые являются случайными (непредсказуемыми) и не несут полезной информации; даже если они не мешают другим сигналам или могут быть введены преднамеренно, как в случае комфортного шума .

- «Шум (обработка сигнала)» , Википедия

Для примера того, о чем они говорят, давайте рассмотрим простую схему:

$$\require{enclose} \def\place#1#2#3{\smash{\rlap{\hskip{#1pt}\raise{#2pt}{#3}}}} % \bbox[10pt]{\enclose{box}{\phantom{\Rule{250pt}{75pt}{0pt}}}} % \place{-275}{70}{\enclose{box}{\bbox[5pt,lightblue]{ \begin{array}{c} \text{resistor} \\ \text{set resistance:}~R \end{array} }}} % \place{-270}{0}{ \enclose{box}{\bbox[5pt,lightblue]{ \begin{array}{c} \text{power source} \\ \text{set voltage:}~V \end{array} }}} % \place{-55}{30}{ \enclose{box}{\bbox[5pt,lightblue]{ \begin{array}{c} \text{current meter} \\ \text{measured current:}~I \end{array} }}}$$

$V$$R$$I=\frac{V}{R}$ , мы можем использовать эту схему, чтобы разделить числа для нас:

1. Выберите некоторую проблему разделения для выполнения,$\frac{a}{b}=?$,

2. $V=a~\mathrm{V}$ .

3. $R=b~\mathrm{\Omega}$ .

4. $I=?~\mathrm{A}$

Это простой аналоговый компьютер, который может делить числа без необходимости для нас выполнять математику другим способом, например цифровой логикой.

Но что на самом деле крутого в этом? Если мы наивны, мы можем поверить, что это может сделать реальные вычисления :

В теории вычислимости теория реальных вычислений имеет дело с гипотетическими вычислительными машинами, использующими действительные числа бесконечной точности. Им дано это имя, потому что они оперируют множеством действительных чисел . В рамках этой теории можно доказать интересные утверждения, такие как «Дополнение множества Мандельброта разрешимо только частично».

Эти гипотетические вычислительные машины можно рассматривать как идеализированные аналоговые компьютеры, которые работают с действительными числами, тогда как цифровые компьютеры ограничены вычислимыми числами. .

- "Реальные вычисления" , Википедия

$\left\{V,I,R\right\}{\in}\mathbb{R}$

В любом случае, вернемся к оригинальной цитате:

К сожалению, для аналоговых вычислений оказывается, что, когда сделаны реалистичные предположения о наличии шума в аналоговых компьютерах, их мощность исчезает во всех известных случаях; они не могут эффективно решать проблемы, которые невозможно решить на машине Тьюринга.

Они в основном говорят, что всякий раз, когда кто-то придумывает такую ​​схему, неидеальность ситуации (шум в сигналах, дизайн и т. Д.), Как правило, разрушает идеалистические ожидания.

Цитируемый отрывок, кажется, использует это как отправную точку для обсуждения того, как квантовые компьютеры не настолько ограничены этой проблемой, как классические аналоговые компьютеры, как часто кажется.

Если уточнить у автора, вы получите точный ответ, который вы ищете. Однако, исходя из предоставленного контекста, я полагаю, что это может быть связано с проблемой, которую пытается решить спектроскопия квантового шума .

Шум

По словам группы исследователей из Дартмута во главе с профессором Лоренцей Виолой,

Эти квантовые свойства необходимы для квантовых вычислений, но они легко теряются из-за декогеренции, когда квантовые системы подвержены «шуму» во внешней среде.

Квантовые свойства, на которые она ссылается, - это свойства квантовой системы, такие как способность находиться в суперпозиции двух разных состояний одновременно, как указано в той же статье .

Мой вывод

Поэтому, основываясь как на контексте, представленном в вопросе, так и на контексте, представленном командой исследователей из Дартмута, я бы пришел к выводу, что шум, на который ссылается книга, - это шум окружающей среды .