Отделение NP от BQP относительно оракула

Я смотрел на эту лекцию, где автор дает разделение оракула между$\mathsf{BQP}$ а также $\mathsf{NP}$, Он намекает на то, как «стандартные методы диагонализации могут использоваться, чтобы сделать это строгим».

Может ли кто-нибудь подробно описать метод диагонализации, который следует использовать? Интуитивно должны быть важные различия между теми, которые используются для помещения чего-либо за пределы классических классов сложности, и теми, которые используются для помещения чего-либо за пределы . В частности, учитывая, что алгоритм Гровера является оптимальным, я ищу метод диагонализации, чтобы мы могли построить оракула для которого .$\mathsf{BQP}$$A$$\mathsf{NP}^{A} \not\subseteq \mathsf{BQP}^{A}$

Мне кажется, что аргументы диагонализации, которые можно использовать, лишь незначительно отличаются от стандартных, например,  такие, которые можно найти в этих заметках к лекции о теореме Бейкера – Гилла – Соловая ( т. Е. Существуют оракулы для которых а также оракулы для которых ). По сути, вы должны описать, как «спроектировать» состязательный ввод немного по-другому.$A$$\mathsf P^A = \mathsf{NP}^A$$A$$\mathsf P^A \ne \mathsf{NP}^A$

Вот как мы могли бы использовать этот подход , чтобы доказать существование оракула , для которых . Для любого оракула определите язык Ясно, что по той простой причине, что недетерминированная машина Тьюринга может проверить, имеет ли вход форму для некоторого , а затем угадать строку для которого если такой существует. Цель состоит в том, чтобы показать, что$A$$\mathsf{NP}^A \not\subseteq \mathsf{BQP}^A$$A$

$$L_A = \Bigl\{ 1^n \;\Big\vert\; \exists z \in \{0,1\}^n : A(z,0) = (z,1)\Bigr\} .$$ $L_A \in \mathsf{NP}^A$$1^n$$n$$z \in \{0,1\}^n$$A(z,0) = (z,1)$$z$$L_A$не может быть решено за полиномиальное время с ограниченной ошибкой однородным семейством унитарных цепей, используя нижнюю границу для задачи поиска.$O(2^{n/2})$

1. Пусть таково, что задача поиска на оракулах с битными входами требует как минимум запросов оракула для правильного решения (с вероятностью не менее 2/3) для всех ,$c,N > 0$$n$$c 2^{n/2}$$n > N$
   
   

2. Пусть,, - перечисление всех унитарных семейств цепей оракула , так что последовательность гейтов схемывоздействие на битные входы может быть произведено за время, строго меньшее, чем . (Эта временная граница относится к условию «однородности», где нас будут интересовать схемы, которые можно вычислить с помощью детерминированной машины Тьюринга за полиномиальное время - более сильное условие, чем мы навязываем здесь. Перечисление этих семейств схем может быть выполнено для Например, представляя их косвенно с помощью детерминированных машин Тьюринга$\mathbf C^{(1)}\!$$\mathbf C^{(2)}\!$$\ldots$$\mathbf C^{(k)} \!= \{ C^{(k)}_n \}_{n \geqslant 0 }$$C^{(k)}_n\!$$n$$c 2^{n/2}$$\mathbf T^{(k)}$ которые производят свои последовательности затворов и перечисляют их .) Мы перечисляем семейства цепей, так что каждое перечисление цепей встречается бесконечно часто в перечислении.

   • Из границ времени выполнения описания последовательности стробов, в частности, следует, что имеет меньше, чем вентилей для всех , и, в частности, делает меньше, чем запросов к оракулу.$C^{(k)}_n$$c 2^{n/2}$$k$$c 2^{n/2}$

   • Для любого рассмотрим схему, Из нижней границы задачи поиска мы знаем, что для возможны значения функции оракула вычисляемые оракулом, например что с вероятностью 2/3, результат, полученныйна входе не правильный ответ на вопрос, ли .$n$$C^{(n)}_n\!$$n > N$$f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$C^{(n)}_n\!$$1^n$$\exists z \!\in\! \{0,1\}^n\!:\! f(z) \!=\! 1$

   • Для каждого выберите такую ​​функцию для которой «проваливается» таким образом.$n > N$$f_n$$C^{(n)}_n$
     
     

3. Пусть - оракул, который на входах размера вычисляет .$A$$n > N$$f_{\!\!\:n\!\:}$

Построив таким образом, каждое семейство цепей не может правильно определить с вероятностью не менее 2/3 для некоторого (и на самом деле бесконечного числа таких ). Тогда ни одно из семейств цепей правильно не определит с вероятностью успеха, ограниченной ниже 2/3 для всех входов, так что не может быть решена с такими границами никаким однородным семейством унитарных цепей, построенным за время .$A$$\mathbf C^{(n)}$$L_A$$n > N$$n$$\mathbf C^{(k)}$$L_A$$L_A$$p(n)$

Таким образом, , откуда следует , что .$L_A \notin \mathsf{BQP}^A$$\mathsf{NP}^A \not\subseteq \mathsf{BQP}^A$