Есть ли простое правило для инверсии таблицы стабилизатора схемы Клиффорда?

В « Улучшенном моделировании цепей стабилизатора » Ааронсоном и Готтсманом объясняется, как вычислить таблицу, описывающую, на какие тензорные произведения Паули отображаются X и Z, наблюдаемые для каждого кубита, как на них действует схема Клиффорда.

Вот в качестве примера схема Клиффорда:

0: -------@-----------X---
          |           |
1: ---@---|---@---@---@---
      |   |   |   |
2: ---|---|---@---|-------
      |   |       |
3: ---@---@-------Y-------

И таблица, описывающая, как она действует на наблюдаемые X и Z каждого кубита:

       +---------------------+-
       | 0    1    2    3    |
+------+---------------------+-
| 0    | XZ   X_   __   Z_   |
| 1    | ZZ   YZ   Z_   ZZ   |
| 2    | __   Z_   XZ   __   |
| 3    | Z_   X_   __   XZ   |
+------+---------------------+-
| sign |  ++   ++   ++   ++  |
+------+---------------------+-

Каждый столбец таблицы описывает, как схема действует на X, наблюдаемый (левая половина столбца) и Z, наблюдаемый (правая половина столбца) каждого кубита. Например, левая часть столбца 3 - это Z, Z, _, X, означающая операцию X3 (Паули X на кубите 3) в правой части схемы, эквивалентную операции Z1 * Z2 * X4 в левой части. сторона схемы. Строка «знак» указывает знак продукта, который важен, если вы собираетесь смоделировать измерение (оно говорит вам, нужно ли инвертировать результат).

Вы также можете вычислить таблицу для обратной схемы. В приведенном мной примере обратная таблица выглядит так:

       +---------------------+-
       | 0    1    2    3    |
+------+---------------------+-
| 0    | XZ   Y_   __   Z_   |
| 1    | _Z   YZ   Z_   _Z   |
| 2    | __   Z_   XZ   __   |
| 3    | Z_   Y_   __   XZ   |
+------+---------------------+-
| sign |  ++   -+   ++   ++  |
+------+---------------------+-

Таблицы выглядят почти одинаково, если вы транспонируете их строки и столбцы. Но записи не совсем идентичны. В дополнение к транспонированию, вы должны кодировать буквы в биты ( _= 00, X= 01, Z= 10, Y= 11), затем менять средние биты и затем декодировать. Например, ZZ кодирует в 1010, который переходит в 1100, который декодирует в Y_.

У меня вопрос: есть ли простое правило для вычисления знаков обратной таблицы?

В настоящее время я инвертирую эти таблицы, разбивая их на схемы, инвертируя схемы, а затем умножая их вместе. Это крайне неэффективно по сравнению с transpose + replace, но если я собираюсь использовать transpose + replace, мне нужно правило знака.

pauli-gates clifford-group

— Крейг Гидни
источник

Чтобы прояснить вопрос: пусть схема Клиффорда будет

U

$U$ , Тогда читая

j

$j$ Колонка дает

U X_{j} U^{†}

$U X_j U^\dagger$ а также

U Z_{j} U^{†}

$U Z_j U^\dagger$ в зависимости от используемой левой или правой половины. И вы хотите

U^{†} X_{j} U

$U^\dagger X_j U$ а также

U^{†} Z_{j} U

$U^\dagger Z_j U$ вместо этого из этих данных.

— AHusain

@ Хусейн Правильно.

— Крейг Гидни

Чтобы прояснить вопрос: что означают @s в вашей схеме Клиффорда?

— Хосу Этксезаррета Мартинес

@JosuEtxezarretaMartinez Это элементы управления. Когда два связаны, это ворота CZ. @, связанный с X, является контролируемым -X. @, связанный с Y, является контролируемым-Y.

— Крейг Гидни

Ответы:

Существует очень близкое представление табличного представления Ааронсона (и Готтсмана) , которое работает не только для кубитов, но и для кубитов произвольной конечной размерности, что особенно хорошо работает для чисто клиффордских схем ( т. Е. Не более одного терминального измерения).

В этом альтернативном представлении имеется таблица, описывающая, как преобразуются операторы X и Z в одном кубите с фазовой информацией, как в обычном представлении. Столбцы конкретно описывают мультикубитные операторы Вейля, которые являются специальным подмножеством операторов Паули. Преимущество этого состоит в том, что таблица представляет собой не просто массив коэффициентов, но фактический линейный оператор на векторах, которые представляют операторы и фазы Вейля.

Есть небольшой улов. Для кубитов эти векторы имеют коэффициенты, которые являются целыми числами по модулю 4 (что соответствует двойному покрытию нетривиальных одноквитных операторов Паули операторами Вейля), а не по модулю 2. Я думаю, что это небольшая цена, хотя я может быть слегка предвзятым, так как это мой собственный результат [ arXiv: 1102.3354 ]. Тем не менее, кажется, что это несколько «естественное» представление: Appleby разработала особый случай с одним кубитом или qudit несколько раньше [ arXiv: quant-ph / 0412001 ] (то, что я бы очень хотел знать, прежде чем потратить два года без необходимости воссоздавать по существу те же условные обозначения).

Используя такое представление, в силу того факта, что «таблица» $M_C$ схемы Клиффорда $C$ теперь фактическая (и обратимая) матрица, которая преобразует векторы, таблица для обратной схемы $C^{\dagger}$ то обратное $M_C^{-1}$ таблицы. Так что, по крайней мере, для этого тесно связанного представления правило вычисления таблицы для обратной схемы простое.

— Ниль де Бодрап
источник

Не могли бы вы дать ссылку на слайды или конспекты лекций, описывающие операторы Вейля?

— Крейг Гидни

Связано ли это каким-либо образом с заменой "базиса Паули" {I, X, Y, Z} на "базис кватерниона" {I, iX, iY, iZ} при отслеживании векторов продукта?

— Крейг Гидни

Предположительно , когда речь идет о кубитов, оригинальная бумага это один

— DaftWullie

Я постараюсь найти несколько хороших слайдов, касающихся операторов Вейля (я сам ничего о них не имею). В случае n-кубита они являются операторами

W_{a, b} = i^{- (a \codt b)} Z_{a} X_{b}

$W_{\mathbf a,\mathbf b}=i^{-(\mathbf a\codt\mathbf b)}Z_{\mathbf a}X_{\mathbf b}$ для двух векторов

a, b \in Z_{4}^{n}

$\mathbf a,\mathbf b\in\mathbb Z^n_4$ , Мотивация для этого определения суммируется на с. 2 моей связанной статьи, ведущей к лемме 4. Это позволяет рассуждать о группах стабилизаторов, использующих не что иное, как сложение mod 4 (и mod 4 линейной алгебры при выполнении схем Клиффорда), включающее квадратичный материал mod 2 для фаз.

— Ниль де Бёдрап,

@DaftWullie: Нет, [arXiv: quant-ph / 9608006 ] строго отличается. Они индексируют степени X и Z векторами mod 2 (см. Текст, предшествующий уравнению 2), что отражается в аддитивной групповой структуре GF (4). Таким образом, их наблюдения о симплектических преобразованиях на стр.8 применимы к группам Паули по модулю фаз. Эпплби и я не утверждаем, что первыми представили группу Паули на кубитах как причудливое представление: дело в том, что наше представление более изящно отслеживает фазы. Это менее важно для обнаружения QECC, но важно для моделирования состояний.

— Ниль де Бодрап,

Чтобы вывести методы Ааронсона и Готтесмана немного более явно: вы можете настроить каждый стабилизатор как битовую строку длины $2N$ (за $N$ кубитов). Первый $N$ биты указывают местоположение операторов Z, а второй набор $N$ указать расположение $X$ операторы (так, $X_1Z_2$ за $N=2$ 0110). Для вашей схемы на четырех кубитах преобразование из-за схемы Клиффорда (вплоть до некоторых фаз) было бы тогда задано $8\times 8$ матрица. Мы можем думать об этом как о блочной матрице

M = (\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}),

$M=\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right),$ где каждый из блоков

N \times N

$N\times N$ , Из-за того, что стабилизаторы коммутируют, мы знаем, что

(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}) \cdot (\begin{array}{cc} 0 & I \\ I & 0 \end{array}) \cdot {(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array})}^{T} \equiv 0 mod 2

$\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc} 0 & \mathbb{I} \\ \mathbb{I} & 0 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right)^T\equiv 0\text{ mod }2$ Вы хотите найти обратное

M

$M$ По модулю 2. Ваша заявленная обратная форма имеет вид (я думаю)

(\begin{array}{cc} D^{T} & B^{T} \\ C^{T} & A^{T} \end{array})

$\left(\begin{array}{cc} D^T & B^T \\ C^T & A^T \end{array}\right)$ что интересно напоминает обратное

2 \times 2

$2\times 2$ матрица (но этого не достаточно для блочных матриц. Существует обратная блочная обратная связь, но я думаю, что это не очень полезно).

Беспорядок, конечно, происходит из-за отслеживания фаз. Я предполагаю, что признаки будут связаны с изменением числа операторов Y в каждом стабилизаторе, но мне не удалось объединить обработку. Ответ Нила, вероятно, лучше справляется с этим автоматически.

— DaftWullie
источник