Как использовать квантовый компьютер для решения уравнений в частных производных?

Скажем, у вас есть PDE, который вы хотите решить.

Какие квантовые алгоритмы вы бы использовали для его решения? Как мы вводим нашу проблему на квантовом компьютере? Какой будет выход и в какой форме?

Я знаю, что квантовые алгоритмы для решения линейных систем (часто называемые HHL, но на самом деле это дурное имя, поскольку другие версии не принадлежат авторам HHL) были перечислены ранее, но, возможно, существуют и другие методы. Кроме того, поскольку это рассматривается как подпрограмма, выходные данные являются квантовыми, а затем, если вы не хотите получать статистику из нее или использовать ее в качестве входных данных другого квантового алгоритма, это ограничение.

У меня нет точного ответа на ваш вопрос (если он действительно существует); но я могу ответить на часть вашего вопроса, касающегося ввода-вывода для квантового процессора.

Как общее правило; Квантовые алгоритмы (в настоящее время) не могут дать прямых ответов на постановку задачи. По крайней мере, на данный момент квантовые процессоры существуют как гетерогенные ускорители с классическим вычислительным блоком. «Квантовый ускоритель» имеет дело только с той частью общего алгоритма, которую нетривиально (или по экспоненциальной сложности) решить на классическом компьютере. В конце концов, на квантовом процессоре фактически вычисляется только часть программы. (Например, Алгоритм факторинга Шора на самом деле является алгоритмом поиска периода. Поиск периода - нетривиальная задача.)

Среди нескольких других причин, из основных проблем является работа ввода и вывода с квантовым процессором. Проблема «должна» быть выражена в краткой форме (например, уравнение). Это уравнение выражается в виде квантового контура в «оракуле», который в первую очередь касается решения уравнения, и результаты измерений записываются (томография). Вывод также нуждается в постобработке, чтобы иметь смысл (что опять-таки выполняется классическим аналогом).

PS Мне было бы очень интересно узнать больше о PDE решения квантовых алгоритмов; если есть эффективный.

Я столкнулся с подходом для решения дифференциальных уравнений с использованием квантового отжига D-волны. Ссылка здесь: https://arxiv.org/abs/1812.10572 .

Основной метод состоит в том, чтобы получить функционал энергии для дифференциального уравнения, который затем минимизируется на квантовом отжиге. Минимизация может использовать метод конечных элементов для отображения энергии на локализованный подграф D-волновой машины.

Преимущество этого по сравнению с классическим алгоритмом состоит в том, что нет необходимости даже строить систему уравнений, поэтому экономия памяти и позволяет избежать затрат на сборку линейной системы. Однако сложность решения такая же, как у классического метода сопряженных градиентов: . Алгоритм HHL, с другой стороны, может дать экспоненциальное ускорение, но, как вы сказали, не дает прямого решения, к тому же нам нужно собрать линейную систему.$\mathcal{O}(n)$