Квантовые алгоритмы для свертки

Я изучал приложения квантовых вычислений для машинного обучения и столкнулся со следующим препринтом 2003 года. Квантовые алгоритмы свертки и корреляции физически невозможны . Похоже, что статья не была опубликована ни в одном журнале, но ее цитировали несколько десятков раз.

Автор статьи приводит случай, когда невозможно вычислить дискретную свертку по квантовым состояниям. Интуитивно это кажется мне неправильным, так как я знаю, что мы можем выполнить умножение квантовой матрицы, и я знаю, что дискретная свертка может быть оформлена просто как умножение с теплицевой (или циркулянтной) матрицей.

Суть его аргумента, по-видимому, заключается в том, что не существует реализуемой композиции унитарных операторов для поэлементного (адамардовского) произведения двух векторов.

Где мое отключение? Есть ли причина, по которой мы вообще не можем построить матрицу Теплица для дискретной свертки в квантовом компьютере?

Или статья просто неверна? Я преодолел противоречие, которое автор приводит в своем доказательстве леммы 14, и мне кажется, что оно имеет смысл.

Вы можете фактически выполнить свертку на квантовом компьютере (и экспоненциально быстрее в этом отношении), если ваши входные сигналы имеют определенную структуру. Но для общих входных данных это кажется сложным и, возможно, даже физически невозможным, о чем, как представляется, утверждается в статье.

Подумайте, как бы вы вычислили свертку двух дискретных сигналов $f$ а также $g$классически. Вы можете взять преобразование Фурье обоих сигналов, выполнить точечное умножение полученных векторов, а затем выполнить обратное преобразование Фурье:

$$\mathscr{F}^{-1} (\mathscr{F}(f) . \mathscr{F}(g))$$

Обратите внимание, что преобразование Фурье является очень дешевой операцией на квантовом компьютере. Так что это кажется великолепным. Проблема в том, что точечное умножение двух векторов не так просто. Давайте посмотрим, какие факторы определяют это.

Предположим, нам повезло, и спектр Фурье $f$ оказывается плоским:

$$F = \mathscr{F}(f) = \frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N-1}{|i\rangle} = \sum_{i=1}^{N-1}F(i)$$

В этом случае ваш квантовый компьютер может выполнить диагональную матричную операцию, которая дает вам умножение по точкам:

$$\mathscr{F}(f) . \mathscr{F}(g) = F.G = \left(\begin{array}{cccc} F(0) & & & \\ & F(1) & & \\ & & . & \\ & & & F(N-1) \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} G(0) \\ G(1) \\ . \\ G(N-1) \end{array}\right)$$

Однако квантовые алгоритмы, которые находят точечное умножение двух векторов, могут быть физически невозможны в общем случае. Это потому, что эта операция не унитарна вообще. В качестве простого примера предположим, что преобразование Фурье$f$ является колючей функцией, с нулями в большинстве мест:

$$F = \mathscr{F}(f) = \frac{1}{2}(|0\rangle + |2\rangle + |5\rangle + |7\rangle)$$ Точечное умножение этого состояния на другое состояние необратимо (из-за нулей) и, следовательно, не унитарно.

Ранее была предпринята работа по обнаружению функций, которые приводят к плоскому или почти плоскому спектру Фурье и, таким образом, их легко свернуть:

https://arxiv.org/abs/0811.3208

https://arxiv.org/abs/quant-ph/0211140

Я очень подозрительно отношусь к результату. Если вы посмотрите на теорему 16, она утверждает, что нет операции, которая достигает карту

$$\sum_{ij}\alpha_i\beta_j|ij\rangle\mapsto \sum_i\alpha_i\beta_i|i\rangle$$ до нормализации. Однако рассмотрим оператор измерения $$P=\sum_{i}|i\rangle\langle ii|.$$ Это четко реализует желаемую карту (для этого конкретного результата измерения). Более того, его реализация довольно проста. Существует унитарная (по сути, обобщенная управляемая-не), которая может отображать $$|ii\rangle\mapsto|i0\rangle,$$ так что вы затем измеряете второе вращение и выбираете после получения 0 результата. Казалось бы, это лишает законной силы доказательство статьи.