Преимущество моделирования разреженных гамильтонианов

В ответе @ DaftWullie на этот вопрос он показал, как представить в терминах квантовых ворот матрицу, использованную в качестве примера в этой статье . Тем не менее, я считаю, что вряд ли иметь такие хорошо структурированные матрицы в реальных примерах, поэтому я пытался взглянуть на другие методы для моделирования гамильтониана. Я нашел в нескольких статьях ссылку на эту статью Ааронова и Та-Шмы, в которой, среди прочего, они утверждают, что можно иметь некоторое преимущество в моделировании разреженных гамильтонианов. Однако после прочтения статьи я не понял, как можно выполнить моделирование разреженных гамильтонианов. Проблема обычно представлена в виде раскраски графа, однако, также смотря на презентацию что @Nelimee предложила прочитать, чтобы изучить возведение в степень матрицы, все это сводится к сильмуляции через формулу продукта.

Чтобы сделать пример, давайте возьмем случайную матрицу, такую как:

A = [\begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 5 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 7 & 0 \\ 0 & 5 & 3 & 4 \end{matrix}];

$A = \left[\begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0\\ 8 & 5 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 7 & 0\\ 0 & 5 & 3 & 4 \end{matrix}\right];$ это не эрмитово, но, используя предложение Харроу, Хасидима и Ллойда, мы можем построить эрмитову матрицу, исходя из нее:

C = [\begin{matrix} 0 & A \\ A^{†} & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 5 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 3 & 4 \\ 2 & 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 7 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] .

$C = \left[ \begin{matrix} 0 & A\\ A^{\dagger} & 0 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 5 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 3 & 4\\ 2 & 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 5 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 7 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix}\right].$

Теперь, когда у меня есть 8x8, 2-разреженная эрмитова матрица:

Могу ли я смоделировать его эволюцию другими способами, кроме метода формулы продукта?
Даже если я использую формулу продукта, как мне использовать тот факт, что он редкий? Это просто потому, что в нем меньше ненулевых записей и, следовательно, должно быть проще найти продукт основных ворот?

algorithm matrix-representation hamiltonian-simulation

— FSIC
источник

Понимание того, что разреженные матрицы полезны, идет в русле: для любого мы можем разложить его в терминах набора , все отдельные компоненты которого коммутируют (что упрощает диагонализацию), Если матрица разреженная, вам не нужно слишком много разных . Затем вы можете смоделировать эволюцию гамильтониана где . Например, в вашем случае вы можете иметь $H$ $H_i$

H = \sum_{i = 1}^{m} H_{i} .

$H=\sum_{i=1}^mH_i.$

H_{i}

$H_i$

e^{- i H t} = \prod_{j = 1}^{N} e^{- i H_{m} δ t} e^{- i H_{m - 1} δ t} \dots e^{- i H_{1} δ t},

$e^{-iHt}=\prod_{j=1}^Ne^{-iH_m\delta t}e^{-iH_{m-1}\delta t}\ldots e^{-iH_{1}\delta t},$

t = N δ t

$t=N\delta t$

H_{1} = \frac{1}{4} X \otimes (18 I - 6 Z \otimes Z - 4 Z \otimes I) H_{2} = \frac{1}{4} (X \otimes (11 I + 5 Z) \otimes X + Y \otimes (11 I + 5 Z) \otimes Y) H_{3} = \frac{1}{4} (11 X \otimes X - Y \otimes Y) \otimes (I - Z)

$H_1=\frac14 X\otimes(18\mathbb{I}-6Z\otimes Z-4Z\otimes\mathbb{I}) \\ H_2=\frac14(X\otimes(11\mathbb{I}+5Z)\otimes X+Y\otimes(11\mathbb{I}+5Z)\otimes Y)\\ H_3=\frac14(11X\otimes X-Y\otimes Y)\otimes(\mathbb{I}-Z)$ (3 члена что соответствует 3-разреженному гамильтониану). Я полагаю, что здесь есть стратегия: вы просматриваете все ненулевые матричные элементы вашего гамильтониана и группируете их так, что если я запишу их координаты как (и я всегда включу их комплексную сопряженную пару), я продолжу добавлять другие элементы моего набора не дают ни ни равных или .. Это будет означать для разреженного гамильтониана

(i, j)

$(i,j)$

(k, l)

$(k,l)$

k

$k$

l

$l$

i

$i$

j

$j$

m

$m$

m

$m$ разные, .

H_{i}

$H_i$

Проблема в том, что на практике это не обязательно сработает. Во-первых, экспоненциально много матричных элементов, которые вам нужно пройти, но всегда будет так, как вы их настраиваете.

Люди могут обойти это путем создания оракула. Одним из возможных оракулов, по сути, является функция которая возвращает позицию и значение ненулевой записи строке . Это может быть встроено в полный квантовый алгоритм. Есть несколько статей на эту тему (ни одну из которых я еще полностью не понял). Например, здесь и здесь . Позвольте мне попытаться дать грубое описание того, как они работают. $f(j,l)$ $l^{th}$ $j^{th}$

Первым шагом является декомпозиция гамильтониана как набора унитарных элементов, умноженных на положительные масштабные коэффициенты : Для простоты предположим, что . Можно предположить, что вам дано это разложение. Затем определяется операция ( из управляемого и управляемого ), которая реализует . Если мы введем определенное состояние (с точностью до нормализации) на контрольном кубите, применим , затем измерим контрольный кубит, выполнив последующий выбор, находясь в состоянии $\alpha_i$

H = \sum_{i} α_{i} U_{i}

$H=\sum_i\alpha_iU_i$

H = U_{1} + α U_{2}

$H=U_1+\alpha U_2$

U_{1}

$U_1$

U_{2}

$U_2$

V = | 0 ⟩ ⟨ 0 | \otimes U_{1} + | 1 ⟩ ⟨ 1 | \otimes U_{2}

$V=|0\rangle\langle 0|\otimes U_1+|1\rangle\langle 1|\otimes U_2$

| 0 ⟩ + \sqrt{α} | 1 ⟩

$|0\rangle+\sqrt{\alpha}|1\rangle$

V

$V$

| 0 ⟩ + \sqrt{α} | 1 ⟩

$|0\rangle+\sqrt{\alpha}|1\rangle$ , то, если пост-выбор успешно, мы реализовали , что происходит с вероятностью не менее . Вы можете сделать то же самое с несколькими членами, и даже с экспонентами гамильтонианов (подумайте о разложении в ряды), хотя на практике используются некоторые лучшие разложения в ряды, основанные на функциях Бесселя.

U_{1} + α U_{2}

$U_1+\alpha U_2$

(1 - α)^{2} / (1 + α)^{2}

$(1-\alpha)^2/(1+\alpha)^2$

— DaftWullie
источник

Просто 2 вещи, которые я не понял: 1) что вы имеете в виду, когда говорите, что всегда включаете сложные сопряженные пары? 2) Знание позиции, предоставленной оракулом, должно помочь нам в этом? Помогая нам определить множество унитарных единиц, представляющих разложенный гамильтониан?

— FSic

@ F.Siciliano (2) Знание оракула помогает, потому что оно позволяет вам работать только с ненулевыми элементами матрицы вместо того, чтобы проходить через каждый элемент матрицы, чтобы выяснить, какие из них ненулевые.

— DaftWullie

@ F.Siciliano (1) Поскольку эрмитово, если вы знаете, что элемент (i, j) имеет значение то вы знаете, что элемент имеет значение . Вы также знаете, что должны включать его в те же гамильтоновы термины, когда разделяете его, потому что эти термины должны быть эрмитовыми.

H

$H$

h_{i j}

$h_{ij}$

(j, i)

$(j,i)$

h_{i j}^{*}

$h_{ij}^*$

h_{i}

$h_i$

— DaftWullie