Ворота Тоффоли как FANOUT

16

Я искал примеры квантовых схем для упражнений с программированием на Q # и наткнулся на эту схему:

^{От : Примеры квантовых схем - Михал Чарамза}

Во время моих вводных курсов по квантовым вычислениям нас учили, что клонирование состояния запрещено законами КМ, тогда как в этом случае первый контрольный кубит копируется на третий, целевой, кубит.

Я быстро попытался смоделировать схему на Quirk, что-то вроде этого , что-то вроде клонирования состояния на выходе на первом кубите. Измерение кубита до гейта Тоффоли показывает, что на самом деле это не реальное клонирование, а изменение первого контрольного кубита и равные выходные данные первого и третьего кубита.

Делая простую математику, можно показать, что «клонирование» происходит только в том случае, если третий кубит находится в начальном состоянии 0, и что только в том случае, если на первом кубите не выполняется «операция вращения» (как указано в «Причуде») на Y или X.

Я пытался написать программу на Q #, которая только подтвердила то, что сказано выше.

Я изо всех сил пытаюсь понять, как эта операция меняет первый кубит и как возможно нечто похожее на клонирование.

Заранее спасибо!

quantum-gate quirk cloning

— Д-Brc
источник

1

Это отличный вопрос, и спасибо за то, что вы приложили все усилия, чтобы отформатировать его так хорошо.

— user1271772

10

Для упрощения вопроса рассмотрим ворота CNOT вместо ворот Toffoli; CNOT также раздувается, потому что

\begin{aligned} | 0 ⟩ | 0 ⟩ \to | 0 ⟩ | 0 ⟩ \\ | 1 ⟩ | 0 ⟩ \to | 1 ⟩ | 1 ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} |0\rangle|0\rangle \rightarrow |0\rangle|0\rangle\\ |1\rangle|0\rangle \rightarrow |1\rangle|1\rangle \end{align}$

и это похоже на клонирование для любого базисного состояния $x\in\{0,1\}$

\begin{aligned} | x ⟩ | 0 ⟩ \to | x ⟩ | x ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} |x\rangle|0\rangle \rightarrow |x\rangle|x\rangle \end{align}$

но если взять суперпозицию $|\psi\rangle=\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$ затем

\begin{aligned} (α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩) | 0 ⟩ \to α | 0 ⟩ | 0 ⟩ + β | 1 ⟩ | 1 ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} (\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle)|0\rangle \rightarrow \alpha|0\rangle|0\rangle+ \beta|1\rangle|1\rangle \end{align}$

так вообще

\begin{aligned} | ψ ⟩ | 0 ⟩ ↛ | ψ ⟩ | ψ ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} |\psi\rangle|0\rangle\not\rightarrow|\psi\rangle|\psi\rangle \end{align}$

и разветвление это не клонирование.

Что касается вопроса о том, как изменяется первый кубит, то теперь он запутался со вторым кубитом.

— kludg
источник

иными словами, потому что теорема об отсутствии клонирования говорит о том, что не может быть ни одного унитарного, способного клонировать неортогональные состояния, в то время как ортогональные состояния могут быть клонированы без проблем

— GLS

6

Хороший вопрос! Ответ заключается в том, что теорема об отсутствии клонирования утверждает, что вы не можете клонировать произвольное неизвестное состояние .

Эта схема не нарушает теорему об отсутствии клонирования, потому что давайте посмотрим, что она делает, когда ввод $\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$ , Выход в третьем регистре все еще должен быть $|0\rangle$ или $|1\rangle$ ,

Поэтому для этой схемы невозможно клонировать произвольное состояние. $|\psi\rangle$ и один пример состояния, которое он не может клонировать: $\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$ ,

— user1271772
источник

@NeildeBeaudrap: оригинальный вопрос

| x ⟩

$|x\rangle$ так что я говорю, что это работает только тогда, когда

| x ⟩

$|x\rangle$ 0 или 1, но не в суперпозиции. Вы изменили это на

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ , нужно ли иметь другой символ?

— user1271772

4

Теорема об отсутствии клонирования говорит, что не существует схемы, которая создает независимые копии всех квантовых состояний. Математически ни одно клонирование не утверждает, что:

\forall C : \exists a, b : C \cdot ((a | 0 ⟩ + b | 1 ⟩) \otimes | 0 ⟩) \neq (a | 0 ⟩ + b | 1 ⟩) \otimes (a | 0 ⟩ + b | 1 ⟩)

Fanout circuits don't violate this theorem. They don't make indepedent copies. They make entangled copies. Mathematically, they do:

FANOUT \cdot ((a | 0 ⟩ + b | 1 ⟩) \otimes | 0 ⟩) = a | 00 ⟩ + b | 11 ⟩

$\text{FANOUT} \cdot \Big( (a|0\rangle + b|1\rangle) \otimes |0\rangle \Big) = a|00\rangle + b|11\rangle$

— Craig Gidney
источник