Если квантовое ускорение связано с волнообразной природой квантовой механики, почему бы просто не использовать регулярные волны?

У меня есть интуиция, объясняющая, почему квантовые вычисления могут работать лучше, чем классические вычисления, в том, что волновая природа волновых функций позволяет вам взаимодействовать с несколькими состояниями информации с помощью одной операции, которая теоретически может обеспечить экспоненциальное ускорение.

Но если это действительно просто конструктивная интерференция сложных состояний, почему бы просто не выполнить эту интерференцию с классическими волнами?

И в этом отношении, если показатель качества - это просто то, как мало шагов можно рассчитать, почему бы не начать со сложной динамической системы, в которую встроены нужные вычисления. (то есть, почему бы просто не создать «аналоговые симуляторы» для конкретных задач?)

Ваше основное утверждение о том, что математика волн имитирует математику квантовой механики, является правильным. На самом деле, многие из пионеров QM называли его волновой механикой именно по этой причине. Тогда естественно спросить: «Почему мы не можем делать квантовые вычисления с волнами?».

Короткий ответ заключается в том, что квантовая механика позволяет нам работать с экспоненциально большим гильбертовым пространством, затрачивая только полиномиальные ресурсы. То есть пространство состояний из кубитов является 2 n- мерным гильбертовым пространством.$n$$2^n$

Невозможно построить экспоненциально большое гильбертово пространство из полиномиально многих классических ресурсов. Чтобы понять, почему это так, давайте рассмотрим два разных типа компьютеров на основе волновой механики.

Первым способом построения такого компьютера было бы использование двухуровневых классических систем. Каждая система сама по себе может быть представлена ​​двумерным гильбертовым пространством. Например, можно представить n гитарных струн с возбуждением только первых двух гармоник.$n$$n$

Эта установка не сможет имитировать квантовые вычисления, потому что нет запутанности. Таким образом, любое состояние системы будет состоянием продукта, и объединенная система из гитарных струн не может быть использована для создания 2 n- мерного гильбертова пространства.$n$$2^n$

Второй способ, которым можно попытаться построить экспоненциально большое гильбертово пространство, - это использовать один гитарный укус и отождествить его первые гармоник с базисными векторами гильбертова пространства. Это сделано в ответе @DaftWullie. Проблема с этим подходом состоит в том, что частота самой высокой гармоники, которую нужно возбуждать, чтобы это произошло, будет масштабироваться как O ( 2 n ) . А поскольку энергия вибрирующей струны масштабируется квадратично по отношению к ее частоте, нам потребуется экспоненциальное количество энергии для возбуждения струны. Таким образом, в худшем случае стоимость энергии вычислений может экспоненциально увеличиваться в зависимости от размера задачи.$2^n$$O(2^n)$

Таким образом, ключевой момент здесь заключается в том, что в классических системах отсутствует запутанность между физически разделимыми частями. И без запутанности мы не можем построить экспоненциально большие гильбертовы пространства с полиномиальными издержками.

Я сам часто описываю источник силы квантовой механики как «разрушительное вмешательство», то есть волнообразный характер квантовой механики. С точки зрения вычислительной сложности ясно, что это одна из наиболее важных и интересных особенностей квантовых вычислений, как отмечает, например , Скотт Аронсон . Но когда мы описываем это очень кратким образом - что «сила квантовых вычислений заключается в деструктивном вмешательстве / волнообразной природе квантовой механики», - важно заметить, что такого рода утверждение является кратким, и обязательно неполное

Всякий раз, когда вы делаете утверждение о «силе» или «преимуществе» чего-либо, важно помнить: по сравнению с чем ? В этом случае то, с чем мы сравниваем, - это конкретно вероятностные вычисления: мы имеем в виду не только то, что «что-то» действует как волна, но, в частности, то, что в противном случае похоже на вероятность , действует как волна.

Надо сказать, что сама вероятность в классическом мире уже действует немного как волна: в частности, она подчиняется своего рода принципу Гайгена (что вы можете понять распространение вероятностей вещей, суммируя вклады отдельных исходных условия - или, другими словами, по принципу суперпозиции ). Разница, конечно, в том, что вероятность неотрицательна, и поэтому может только накапливаться, и ее эволюция будет по существу формой диффузии. Квантовым вычислениям удается продемонстрировать волнообразное поведение с вероятностными амплитудами, которые могут быть неположительными; и поэтому можно увидеть разрушительное вмешательство этих амплитуд.

В частности, поскольку вещи, которые действуют как волны, являются вещами типа вероятностей, «частотное пространство», в котором развивается система, может быть экспоненциальным по количеству частиц, которые вы задействуете в вычислениях. Этот общий феномен необходим, если вы хотите получить преимущество перед обычными вычислениями: если частотное пространство масштабируется полиномиально с количеством систем, а сама эволюция подчиняется волновому уравнению, препятствия для моделирования на классических компьютерах было бы легче преодолеть. Если вы хотели подумать о том, как добиться аналогичных вычислительных преимуществ с другими типами волн, вы должны спросить себя, как вы собираетесь втиснуть экспоненциальное количество различимых «частот» или «мод» в ограниченное энергетическое пространство.

Наконец, на практическом замечании возникает вопрос отказоустойчивости. Еще один побочный эффект волнообразного поведения, демонстрируемого вероятностными явлениями, заключается в том, что вы можете выполнять исправление ошибок, проверяя четности или, в более общем случае, грубые тренировки предельных распределений. Без этой возможности квантовые вычисления по существу были бы ограничены формой аналоговых вычислений, которая полезна для некоторых целей, но которая ограничена проблемой чувствительности к шуму. У нас пока нет отказоустойчивых квантовых вычислений во встроенных компьютерных системах, но мы знаем, что это возможно в принципе, и мы стремимся к этому; в то время как неясно, как, например, чего-то подобного можно достичь с помощью волн на воде.

Некоторые из тех других ответов коснуться этой же функции квантовой механики: «волна-частица дуальность» представляет собой способ выражения того факта , что у нас есть что - то вероятностное о поведении отдельных частиц, которые действуют как волны, и замечания о масштабируемости / экспоненциально пространство конфигурации следует из этого. Но в основе этих описаний чуть более высокого уровня лежит тот факт, что у нас есть квантовые амплитуды, ведущие себя как элементы многовариантного распределения вероятностей, эволюционирующие линейно со временем и накапливающиеся, но которые могут быть как отрицательными, так и положительными.

$n$$\mathbb{R}^{3n}$$n=2$

$\{0,1\}$$\mathbb{R}^3$$n$$n$$2^n$$2^n$

Я не утверждаю, что у меня полный ответ (пока! Я надеюсь обновить его, потому что это интересная проблема, которую стоит попытаться объяснить). Но позвольте мне начать с нескольких уточняющих комментариев ...

Но если это действительно просто конструктивная интерференция сложных состояний, почему бы просто не выполнить эту интерференцию с классическими волнами?

Глупый ответ заключается в том, что это не просто вмешательство. Я думаю, что на самом деле все сводится к тому, что квантовая механика использует разные аксиомы вероятности (амплитуды вероятности) для классической физики, и они не воспроизводятся в волновом сценарии.

$L$

$^*$$\{A_n\}$

$^*$

$\{A_n\}$

Это может быть одним из способов увидеть разницу (или, по крайней мере, двигаться в правильном направлении). Существует способ выполнения квантовых вычислений, классифицируемых на основе квантовых вычислений. Вы подготавливаете свою систему в каком-то конкретном состоянии (что, как мы уже договорились, мы могли бы сделать с нашими w-битами), а затем вы измеряете различные кубиты. Ваш выбор основы измерения определяет вычисление. Но мы не можем сделать это здесь, потому что у нас нет такого выбора основ.

И в этом отношении, если показатель качества - это просто то, как мало шагов можно рассчитать, почему бы не начать со сложной динамической системы, в которую встроены нужные вычисления. (то есть, почему бы просто не создать «аналоговые симуляторы» для конкретных задач?)

$H$$t_0$$e^{iHt_0}$$2H$$t_0$$t_0/2$$H$

$H$$e^{-iHt_0}$

Регулярные волны могут мешать, но не могут быть запутаны.
Пример запутанной пары кубитов, которая не может происходить с классическими волнами, приведен в первом предложении моего ответа на этот вопрос: в чем разница между набором кубитов и конденсатором с разделенной пластиной?

Запутывание считается важнейшей вещью, которая дает квантовым компьютерам преимущество перед классическими, поскольку одна суперпозиция может быть смоделирована с помощью вероятностного классического компьютера (то есть классического компьютера плюс флиппер).

«Почему бы просто не выполнить это вмешательство в классические волны?»

Да, это один из способов, которым мы можем моделировать квантовые компьютеры на обычных цифровых компьютерах. Мы моделируем «волны», используя арифметику с плавающей точкой. Проблема в том, что он не масштабируется. Каждый кубит удваивает количество измерений. Для 30 кубитов вам уже нужно около 8 гигабайт оперативной памяти, чтобы сохранить вектор состояния «волна». На 40 кубитах у нас не хватает компьютеров, достаточно больших, чтобы сделать это.

Аналогичный вопрос был задан здесь: в чем разница между набором кубитов и конденсатором с разделенной пластиной?