Как доказать / опровергнуть универсальность для множества ворот?

Универсальный набор ворот способен имитировать работу любого другого типа ворот, учитывая достаточно ворот. Например, универсальным набором квантовых вентилей являются Адамара (  $H$  ), фазовый сдвиг $\pi/8$ (  $T$  ) и затвор $\mathrm{CNOT}$Как можно опровергнуть или доказать универсальность множества ворот, таких как $\{H,T\}$ , $\{\mathrm{CNOT},T\}$ или $\{\mathrm{CNOT}, H\}$ ?

Универсальность может быть очень тонкой вещью, которую довольно сложно доказать. Обычно есть два варианта доказательства:

• прямо покажите, используя выбранные вами ворота, как построить любой произвольный унитарный элемент произвольного размера (нет ограничений на размер конструкции, только то, что это можно сделать) с произвольной точностью (на некотором нетривиальном подпространстве полного Гильберта Космос).

• Покажите, как выбранный вами набор ворот можно использовать для воссоздания (с произвольной точностью) существующего универсального набора.

И наоборот, если вы хотите опровергнуть это, вы показываете, что эффект от вашего набора вентилей всегда может быть смоделирован (предполагаемой) меньшей моделью вычисления, обычно классическим вычислением.

Есть несколько эвристик, которые вы можете использовать для руководства:

• у вас должен быть мульти-кубитный гейт в вашем наборе. Если все, что у вас есть, это гейты с одним кубитом, вы можете моделировать каждый кубит независимо на классическом компьютере. Таким образом, если мы считаем, что квантовые компьютеры более мощные, чем классические, одни однобитовые элементы не являются универсальными для квантовых вычислений. Это исключает {H, T}.

• у вас должны быть ворота, которые создают суперпозиции. Это исключает {CNOT, T}. Опять же, это классический расчет с добавлением нерелевантной глобальной фазы.

Конечно, это не достаточные условия: множество {H, S, CNOT} также может быть эффективно смоделировано (см. Теорему Готтесмана-Найла). Это также должно быть верно для {H, CNOT}, поскольку они являются подмножеством, и поэтому операции, которые они могут создать, не более, чем операции исходного набора.

Один из универсальных наборов, который я нахожу наиболее интересным, - {Toffoli, H} . Меня всегда удивляет, что этого достаточно (особенно если сравнивать с предыдущим набором). Обратите внимание, что он не включает в себя никаких комплексных чисел.

$$\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\right)$$

Нильсен и Чуан, стр. 191 из 10-летия издания:

Мы только что показали, что произвольная унитарная матрица на $d$Гильбертово пространство можно записать как произведение двухуровневых унитарных матриц. Теперь мы покажем, что одиночные шлюзы кубита и CNOT могут использоваться для реализации произвольной двухуровневой унитарной операции в пространстве состояний$n$кубитов. Комбинируя эти результаты, мы видим, что одинарные кубиты и ворота CNOT могут использоваться для реализации произвольной унитарной операции над$n$ кубиты и, следовательно, универсальны для квантовых вычислений.

В первом предложении есть принятый результат, поэтому вы должны просто показать, что комбинация вашего набора шлюзов может реализовывать «произвольную двухуровневую унитарную операцию». Цитировать Википедию:

Технически это невозможно, поскольку число возможных квантовых вентилей неисчислимо, а число конечных последовательностей из конечного множества счетно. Чтобы решить эту проблему, мы только требуем, чтобы любая квантовая операция была аппроксимирована последовательностью вентилей из этого конечного множества.

Смотрите также эту статью .