Алгоритм Гровера: пример из реальной жизни?

13

Я довольно озадачен тем, как алгоритм Гровера может быть использован на практике, и я хотел бы попросить помощи в разъяснении на примере.

Давайте предположим, что база данных $N=8$ элементов содержит цвета Красный, Оранжевый, Желтый, Зеленый, Голубой, Синий, Индиго и Фиолетовый, и не обязательно в этом порядке. Моя цель - найти Red в базе данных.

Входными данными для алгоритма Гровера является $n = \log_2(N=8) = 3$ кубита, где 3 кубита кодируют индексы набора данных. Мое замешательство возникает здесь (может быть, путаница в отношении посылок, а точнее, заблуждений здесь), что, как я понимаю, оракул фактически ищет один из индексов набора данных (представленный суперпозицией 3 кубитов), и, кроме того, оракул «жестко закодирован», по какому индексу он должен искать.

Мои вопросы:

Что я тут не так делаю?
Если оракул действительно ищет один из индексов базы данных, это означает, что мы уже знаем, какой индекс мы ищем, так зачем искать?
Учитывая вышеприведенные условия с цветами, кто-то может указать на это, если это возможно с помощью Гровера искать красный в неструктурированном наборе данных?

Существуют реализации для алгоритма Гровера с оракулом для ищет | 111>, например (или см. Реализацию R того же оракула R ниже): /quantum//a/2205 $n=3$

Опять же, моя путаница заключается в том, что, поскольку я не знаю положение элементов в наборе данных, алгоритм требует от меня поиска строки, которая кодирует положение элементов. Как мне узнать, какую позицию мне следует искать, если набор данных неструктурирован? $N$ $N$

Код R:

 #START
 a = TensorProd(TensorProd(Hadamard(I2),Hadamard(I2)),Hadamard(I2))
 # 1st CNOT
 a1= CNOT3_12(a)
 # 2nd composite
 # I x I x T1Gate
 b = TensorProd(TensorProd(I2,I2),T1Gate(I2)) 
 b1 = DotProduct(b,a1)
 c = CNOT3_02(b1)
 # 3rd composite
 # I x I x TGate
 d = TensorProd(TensorProd(I2,I2),TGate(I2))
 d1 = DotProduct(d,c)
 e = CNOT3_12(d1)
 # 4th composite
 # I x I x T1Gate
 f = TensorProd(TensorProd(I2,I2),T1Gate(I2))
 f1 = DotProduct(f,e)
 g = CNOT3_02(f1)
 #5th composite
 # I x T x T
 h = TensorProd(TensorProd(I2,TGate(I2)),TGate(I2))
 h1 = DotProduct(h,g)
 i = CNOT3_01(h1)
 #6th composite
 j = TensorProd(TensorProd(I2,T1Gate(I2)),I2)
 j1 = DotProduct(j,i)
 k = CNOT3_01(j1)
 #7th composite
 l = TensorProd(TensorProd(TGate(I2),I2),I2)
 l1 = DotProduct(l,k)
 #8th composite
 n = TensorProd(TensorProd(Hadamard(I2),Hadamard(I2)),Hadamard(I2))
 n1 = DotProduct(n,l1)
 n2 = TensorProd(TensorProd(PauliX(I2),PauliX(I2)),PauliX(I2))
 a = DotProduct(n2,n1)
 #repeat the same from 2st not gate
 a1= CNOT3_12(a)
 # 2nd composite
 # I x I x T1Gate
 b = TensorProd(TensorProd(I2,I2),T1Gate(I2))
 b1 = DotProduct(b,a1)
 c = CNOT3_02(b1)
 # 3rd composite
 # I x I x TGate
 d = TensorProd(TensorProd(I2,I2),TGate(I2))
 d1 = DotProduct(d,c)
 e = CNOT3_12(d1)
 # 4th composite
 # I x I x T1Gate
 f = TensorProd(TensorProd(I2,I2),T1Gate(I2))
 f1 = DotProduct(f,e)
 g = CNOT3_02(f1)
 #5th composite
 # I x T x T
 h = TensorProd(TensorProd(I2,TGate(I2)),TGate(I2))
 h1 = DotProduct(h,g)
 i = CNOT3_01(h1)
 #6th composite
 j = TensorProd(TensorProd(I2,T1Gate(I2)),I2)
 j1 = DotProduct(j,i)
 k = CNOT3_01(j1)
 #7th composite
 l = TensorProd(TensorProd(TGate(I2),I2),I2)
 l1 = DotProduct(l,k)
 #8th composite
 n = TensorProd(TensorProd(PauliX(I2),PauliX(I2)),PauliX(I2))
 n1 = DotProduct(n,l1)
 n2 = TensorProd(TensorProd(Hadamard(I2),Hadamard(I2)),Hadamard(I2))
 n3 = DotProduct(n2,n1)
 result=measurement(n3)
 plotMeasurement(result)

grovers-algorithm

— 01000001
источник

3

Возможная копия алгоритма Гровера: где находится список?

— DaftWullie

также связано с: Quantcomputing.stackexchange.com/q/175/55

— GLS

5

| x ⟩_{address} | 0 ⟩_{value} \to | x ⟩_{address} | load (x) \oplus 0 ⟩_{value} = | x ⟩_{address} | load (x) ⟩_{value} .

$|x\rangle_{\text{address}}|0\rangle_{\text{value}} \rightarrow |x\rangle_{\text{address}}|\textrm{load}(x)\oplus 0\rangle_{\text{value}} = |x\rangle_{\text{address}}|\textrm{load}(x)\rangle_{\text{value}}.$

H_{address}^{\otimes n} | 0 ⟩_{address} | 0 ⟩_{value} = \frac{1}{2^{n / 2}} \sum_{x = 0}^{2^{n} - 1} | x ⟩_{address} | 0 ⟩_{value}

$H^{\otimes n}_{\text{address}} |0\rangle_{\text{address}}|\textrm0\rangle_{\text{value}}=\frac1{2^{n/2}}\sum_{x=0}^{2^n-1} |x\rangle_{\text{address}}|\textrm0\rangle_{\text{value}}$

apply load \to \frac{1}{2^{n / 2}} \sum_{x = 0}^{2^{n} - 1} | x ⟩_{address} | load (x) ⟩_{value}

$\text{apply load}\rightarrow \frac1{2^{n/2}}\sum_{x=0}^{2^n-1} |x\rangle_{\text{address}}|\textrm{load}(x)\rangle_{\text{value}}$

O (\sqrt{N})

$O(\sqrt{N})$

x^{*}

$x^*$

| x^{*} ⟩_{address} | load (x^{*}) ⟩_{value} .

$|x^*\rangle_{\text{address}}|\textrm{load}(x^*)\rangle_{\text{value}}.$

Возможно, основная проблема у вас в понимании базы данных, а не алгоритма Гровера. Более подробное объяснение вы можете найти в главе 6.5 Nielsen & Chuang.

Я также думаю, что наиболее полезным применением алгоритма Гровера является не приложение базы данных, а его обобщения как амплитуда амплитуды (см. Https://arxiv.org/abs/quant-ph/0005055 ) для любого квантового алгоритма.

$\neq$

— Алекс Го
источник

\neq

$\neq$

\sum_{k} | k ⟩ \otimes | s_{k} ⟩

$\sum_k |k\rangle\otimes|s_k\rangle$

k

$k$

s_{k} = + 1

$s_k=+1$

s_{k}

$s_k$ ,

— GLS

\neq

$\neq$

4

Это уже частично обсуждается в этом связанном вопросе , но я постараюсь здесь более конкретно рассмотреть некоторые из вопросов, которые вы поднимаете.

| i ⟩ \mapsto (- 1)^{f (x_{i})} | i ⟩,

$|i\rangle\mapsto(-1)^{f(x_i)}|i\rangle,$

i

$i$

x_{i}

$x_i$

i

$i$

$f(x_i)$ $x_i$ $x_i$ $x_i$ $P$ $P$

$f$ $x_i$ $i$ $x_i$

$x_i=i$ $x_i$

В таком случае алгоритм действительно не особенно полезен, так как ответ должен быть жестко закодирован в оракуле, но в общем случае это не обязательно.

— GLS
источник

Спасибо за ваш ответ! Возможно, можно было бы привести пример из реальной жизни, где Гровер «полезен» для некоторых реальных данных с учетом представленного оракула? Например, как это будет работать с базой данных из 8 элементов с простыми и не простыми числами?

— 01000001

1

f

$f$

f

$f$

x

$x$