Какие целые числа были учтены в алгоритме Шора?

Ожидается, что алгоритм Шора позволит нам вычислять целые числа, гораздо большие, чем это можно было бы сделать на современных классических компьютерах.

В настоящее время учитываются только меньшие целые числа. Например, в этой статье обсуждается разложение . $15=5{\times}3$

Каково в этом смысле современное состояние исследований? Есть ли какая-нибудь недавняя статья, в которой говорится, что некоторые большие цифры были разложены?

shors-algorithm

— Танцор лежа
источник

Тесно связанный, но не точный дубликат: Какое наибольшее число разлагается КК в неспецифическом эксперименте?

— Агаитаарино

Ответы:

Первичная факторизация 21 (7x3), кажется, самая большая из сделанных на сегодняшний день с помощью алгоритма Шора; это было сделано в 2012 году, как подробно описано в этом документе . Следует отметить, однако, что гораздо большие числа, такие как 56 153 в 2014 году, были учтены с использованием алгоритма минимизации, как подробно описано здесь . Для удобной ссылки см. Таблицу 5 этого документа :

{\begin{matrix} Таблица 5: Записи квантовой факторизации \\ \begin{array}{cccccc} номер & Количество факторов & \begin{matrix} Количество кубитов \\ необходимый \end{matrix} & Алгоритм & \begin{matrix} Год \\ реализованы \end{matrix} & \begin{matrix} Реализован \\ без предварительного \\ знание \\ решение \end{matrix} \\ 15 & 2 & 8 & Шор & 2001 [2] & χ \\ 2 & 8 & Шор & 2007 [3] & χ \\ 2 & 8 & Shor & 2007 [3] & χ \\ 2 & 8 & Shor & 2009 [5] & χ \\ 2 & 8 & Шор & 2012 [6] & χ \\ 21 & 2 & 10 & Шор & 2012 [7] & χ \\ 143 & 2 & 4 & минимизация & 2012 [1] & ✓ \\ 56153 & 2 & 4 & минимизация & 2012 [1] & ✓ \\ 291311 & 2 & 6 & минимизация & еще нет & ✓ \\ 175 & 3 & 3 & минимизация & еще нет & ✓ \end{array} \end{matrix}}_{,}

$\begin{array}{c} \textbf{Table 5:}~\text{Quantum factorization records} \\ \hline \small{ \begin{array}{cccccc} \text{Number} & \text{# of factors} & \begin{array}{c}\text{# of qubits} \\ \text{needed} \end{array} & \text{Algorithm} & \begin{array}{c}\text{Year} \\ \text{implemented} \end{array} & \begin{array}{c}\text{Implemented} \\ \text{without prior} \\ \text{knowledge of} \\ \text{solution} \end{array} \\ \hline 15 & 2 & 8 & \text{Shor} & 2001~\left[2\right] & \chi \\ & 2 & 8 & \text{Shor} & 2007~\left[3\right] & \chi \\ & 2 & 8 & \text{Shor} & 2007~\left[3\right] & \chi \\ & 2 & 8 & \text{Shor} & 2009~\left[5\right] & \chi \\ & 2 & 8 & \text{Shor} & 2012~\left[6\right] & \chi \\ 21 & 2 & 10 & \text{Shor} & 2012~\left[7\right] & \chi \\ 143 & 2 & 4 & \text{minimization} & 2012~\left[1\right] & \checkmark \\ 56153 & 2 & 4 & \text{minimization} & 2012~\left[1\right] & \checkmark \\ \hline 291311 & 2 & 6 & \text{minimization} & \text{not yet} & \checkmark \\ 175 & 3 & 3 & \text{minimization} & \text{not yet} & \checkmark \end{array}} \end{array}_{\Large{.}}$

— вереск
источник

@SqueamishOssifrage: Где говорится, что алгоритм минимизации «ограничен числами, чьи факторы имеют известные отношения, делающие пространство поиска намного меньшим, например, различающиеся только на несколько битовых позиций или отличающиеся на всех, кроме нескольких позиций»?

— user1271772

@ user1271772 Насколько я понимаю, метод основан на уменьшении проблемы, требующей только поддающегося отслеживанию количества кубитов путем исключения переменных за счет известных соотношений между битами факторов. Хотя число кубитов к фактору

может масштабироваться только с

, ни одна из прочитанных мною работ, похоже, не пыталась оценить рост времени решения как функцию от числа кубитов или

N

$N$

O (\log^{2} N)

$O(\log^2 N)$

\log N

$\log N$

— Squeamish Ossifrage

@SqueamishOssifrage: «путем исключения переменных с помощью известных отношений между битами факторов» Согласитесь ли вы, что уравнение 1 из arxiv.org/pdf/1411.6758.pdf подразумевает, что z12 = 0, без какого-либо «известного» отношения между битами? Согласитесь ли вы, что вы можете сделать вывод, что z12 = 0 для произвольного p1, p2, q1, q2? Далее: Число переменных (кубитов) в методе таблицы в

не

. Задача может быть решена на отжиге с

кубитами, если разрешены произвольные 4-кубитные взаимодействия. Если только 2-кубиты взаимодействие разрешено, вам необходимо

\log (N)

$\log(N)$

\log^{2} N

$\log^2 N$

\log (N)

$\log(N)$

\log^{2} N

$\log^2 N$

— user1271772

@SqueamishOssifrage: «ни одна из статей, которые я читал, похоже, не делала попыток оценить рост времени решения как функцию от числа кубитов». На этот раз была предпринята попытка: journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.101.220405 Но «время решения» - это не главное, а необходимые усилия. Просеивание GNF легко, но шаг матрицы ужасно громоздок. Выполнение алгоритма Шора разумно оптимальным способом является обременительным. Алгоритм минимизации прост.

— user1271772

@SqueamishOssifrage: Наконец: «Обратите внимание, что алгоритм минимизации ограничен числами, факторы которых имеют известные отношения» .. ни одна часть алгоритма не ограничена «известными» отношениями. Алгоритм не предполагает ничего о факторах. Нет отношений. Биты - это все неизвестные переменные , которые определяются путем минимизации. Минимизация может быть выполнена с меньшим количеством кубитов для одних чисел, чем для других. То же самое верно для алгоритма Шора. То же самое относится и к GNFS. На самом деле, если число, которое вы хотите вычислить, является четным, его довольно легко вычислить.

— user1271772

Для Алгортма Шора : Современное состояние все еще 15 . Чтобы «разложить» 21 в статье, которую упоминает Хизер, им пришлось использовать тот факт, что чтобы выбрать свою базу . Это было объяснено в 2013 году в статье « Притворяться о факторных числах на квантовом компьютере» , позже опубликованной Nature с несколько более дружелюбным названием . Квантовый компьютер не учитывал 21, но он подтвердил, что факторы 7 и 3 действительно верны. $21=7\times 3$ $a$

Для алгоритма отжига : уровень техники 376289 . Но мы не знаем, как это будет масштабироваться. Очень грубый верхний предел количества кубитов, необходимых для расчета RSA-230, составляет 5,5 миллиардов кубитов (но это может быть значительно снижено лучшими компиляторами), в то время как алгоритм Шора может сделать это с 381 кубитом .

— user1271772
источник

Вы заметите, что в таблице в моем ответе есть столбец «реализовано без предварительного знания решения», где есть «x» для всех реализаций алгоритма Шора, что наводит меня на мысль, что нечто подобное верно для факторинга 15.

— Хизер

Размер факторного числа не является хорошей мерой для сложности проблемы факторизации и, соответственно, мощности квантового алгоритма. Соответствующей мерой должна быть периодичность результирующей функции, которая появляется в алгоритме.

Это обсуждается у Дж. Смолина, Дж. Смита, А. Варго: «Притворяться в факторизации больших чисел на квантовом компьютере» , Nature 499, 163-165 (2013) . В частности, авторы также приводят пример числа с 20000 двоичными цифрами, которое может быть учтено на квантовом компьютере с двумя кубитами, с точно такой же реализацией, которая использовалась ранее для разложения на другие числа.

Следует отметить, что «ручные упрощения», которые авторы выполняют, чтобы прийти к этому квантовому алгоритму, - это то, что также было сделано, например, для исходного эксперимента с учетом 15.

— Норберт Шух
источник